Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx（a，b為常數(shù)，且a≠0）滿足條件f（1-x）=f（1+x），且函數(shù)g（x）=f（x）-x只有一個零點(diǎn)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)m，n（m＜n），使得f（x）的定義域?yàn)閇m，n]時，f（x）的取值范圍是[3m，3n]．

Answer 1

分析：（I）由已知中f（1-x）=f（1+x），可得到函數(shù)f（x）圖象的對稱軸是直線x=1，若f（x）-x只有一個零點(diǎn)，即對應(yīng)的二次方程的△=0，由于構(gòu)造關(guān)于a，b的方程組，求出a，b值后，即可得到函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)（1）中的解析式，我們分m＜n＜1，m≤1≤n，1＜m＜n三種情況分析討論滿足f（x）的定義域?yàn)閇m，n]時，f（x）的取值范圍是[3m，3n]的m，n值，最后綜合討論結(jié)果，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)槎�次函�?shù)f（x）=ax²+bx滿足條件f（1-x）=f（1+x），
所以函數(shù)f（x）圖象的對稱軸是直線x=1．所以-

b

2a

=1，即b=-2a． …2分
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x）-x只有一個零點(diǎn)，即ax²-（2a+1）x=0有等根．
所以△=（2a+1）²=0．…4分
即a=-

1

2

，b=1．所以f （x）=-

1

2

x²+x．      …6分
（Ⅱ）①當(dāng)m＜n＜1時，f （x）在[m，n]上單調(diào)遞增，f （m）=3m，f （n）=3n，
所以m，n是-

1

2

x²+x=3x的兩根．
解得m=-4，n=0；                    …8分
②當(dāng)m≤1≤n時，3n=

1

2

，解得n=

1

6

．不符合題意；  …10分
③當(dāng)1＜m＜n時，f （x）在[m，n]上單調(diào)遞減，所以f （m）=3n，f （n）=3m．
即-

1

2

m²+m=3n，-

1

2

n²+n=3m．
相減得-

1

2

（m²-n²）+（m-n）=3（n-m）．
因?yàn)閙≠n，所以-

1

2

（m+n）+1=-3．所以m+n=8．
將n=8-m代入-

1

2

m²+m=3n，
得-

1

2

m²+m=3（8-m）．但此方程無解．
所以m=-4，n=0時，f （x）的定義域和值域分別是[m，n]和[3m，3n]．…14分．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)解析式的求法，函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)的零點(diǎn)，其中（2）中討論區(qū)間[m，n]與對稱軸的關(guān)系，是解答二次函數(shù)問題最常見的思路．