Question

【題目】已知半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線(xiàn)相切．

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn) 與圓相交于兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)，使得弦的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）存在實(shí)數(shù)

【解析】試題分析：

(Ⅰ)設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于半徑可得，則圓的方程為．

(Ⅱ)由題意得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是；

(Ⅲ)由題意討論可得存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足題意.

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)圓心為（）．由于圓與直線(xiàn)相切，且半徑為，所以 ，即．因?yàn)?/span>為整數(shù)，故．

故所求圓的方程為．

（Ⅱ）， 則或，又故

（Ⅲ）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，由于，則直線(xiàn)的斜率為

的方程為，即

由于垂直平分弦AB，故圓心必在上，

所以，解得。由于，故存在實(shí)數(shù)

使得過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)垂直平分弦AB