Question

（2012•張掖模擬）在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c．且

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

．
（1）求角A的大小及角B的取值范圍；
（2）若a=

3

，求b²+c²的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，將

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

中的角化為邊，得b²+c²-a²=bc，再利用余弦定理即可得角A，再由三角形ABC為銳角三角形，求得角B的取值范圍；
（2）利用正弦定理將b²+c²轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，再利用三角變換公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)，再利用（1）中角B的取值范圍求函數(shù)值域即可

解答：解：（1）由

a-c

b-c

=

sinB

sinA+sinC

得

a-c

b-c

=

b

a+c

即b²+c²-a²=bc
得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，A∈（0，

π

2

）
故A=

π

3

．
又∵△ABC是銳角三角形，∴

π

2

＜B+A，即

π

2

＜B+

π

3

，得B＞

π

6

故

π

6

＜B＜

π

2

．
（2）由

a

sinA

=2R，得2R=

3

sin π 3

=2，∴b=2sinB，c=2sinC
∵B+C=

2π

3

，∴C=

2π

3

-B
∴b²+c²=4（sin²B+sin²C）=2（1-cos2B+1-cos2C）=4-2（cos2B+cos2C）=4-2[cos2B+cos(

4π

3

-2B)]=4-2(

1

2

cos2B-

3

2

sin2B)=4-2cos(2B+

π

3

)
∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴

2π

3

＜2B+

π

3

＜

4π

3

∴當(dāng)2B+

π

3

=π時，即B=

π

3

時，b²+c²取得最大值6．
當(dāng)2B+

π

3

=

4π

3

時，即B=

π

2

時，b²+c²取得最小值5．
故所求b²+c²的取值范圍是（5，6]．

點評：本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的值域的求法，利用定理實現(xiàn)邊角間的互化是解決本題的關(guān)鍵，