Question

【題目】設集合是由數列組成的集合，其中數列同時滿足以下三個條件：

①數列共有項，；②；③

（1）若等比數列，求等比數列的首項、公比和項數；

（2）若等差數列是遞增數列，并且，常數，求該數列的通項公式；

（3）若數列，常數，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）或，公比，項數（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）討論和兩種情況，代入公式計算得到得到答案.

（2）設等差數列的公差是，，計算得到則，

，相減得到，計算得到答案.

（3）設是的一個排列，并且則同理得到證明.

（1）數列有20項，若，由于，得，不合題意，舍去；

若，由于，得，

于是或；

（2）設等差數列的公差是，，

因為，所以，

因為，所以，，

則，，

兩式相減得，即，又，得，；

（3）因為，所以存在，，

設是的一個排列，并且，那么

，

，，

所以，同理，即

.