Question

已知某公司生產(chǎn)的品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件，需要另投入1.9萬(wàn)元．設(shè)R（x）（單位：萬(wàn)元）為銷售收入，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，得到
R（x）=

10x- 1 30 x3，0≤x≤10 200 3 ，x＞10

，其中x是年產(chǎn)量（單位：萬(wàn)件）．
（Ⅰ）寫(xiě)出年利潤(rùn)W關(guān)于年產(chǎn)量x的函數(shù)解析式；
（Ⅱ）年產(chǎn)量x為多少時(shí)，該公司在這一品牌的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大？

Answer 1

分析：（Ⅰ）依據(jù)利潤(rùn)的計(jì)算方法，即利潤(rùn)=銷售收入-投入，直接寫(xiě)出年利潤(rùn)函數(shù)即可．
（Ⅱ）分類討論：當(dāng)0≤x≤10時(shí)；當(dāng)x＞10時(shí)，分別求出分段上各個(gè)函數(shù)的最大值，最后綜合得出當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件，公司所獲得的利潤(rùn)最大即可．

解答：解：（Ⅰ）由利潤(rùn)=銷售收入-投入可得：年利潤(rùn)函數(shù)為W（x）=

8.1x- 1 30 x3-10(0≤x≤10) 170 3 -1.9x(x＞10)

（4分）．
（Ⅱ）當(dāng)0≤x≤10時(shí)，∵W（x）=8.1x-

1

30

x3-10∴W′（x）=8.1-

1

10

x2=-

1

10

(x2-81)
令W′（x）=0，解得x=9（6分）．若0≤x＜9，則W′（x）＞0；若9＜x≤10，則W′（x）＜0，
∴W（x）的最大值為W（9）=38.6（8分）．
當(dāng)x＞10時(shí)，W（x）=

170

3

-1.9x＜

113

3

＜38.6（9分）．
綜上可知，當(dāng)x=9時(shí)W（x）的最大值為W（9）=38.6
答：當(dāng)年產(chǎn)量為9萬(wàn)件，公司所獲得的利潤(rùn)最大（10分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)，考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．以及函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想．