【題目】已知在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).
(Ⅰ)求證:D1E⊥A1D;
(Ⅱ)在棱AB上是否存在點(diǎn)E使得AD1與平面D1EC成的角為?若存在,求出AE的長,若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(2).
【解析】試題分析:
(Ⅰ)要證,由正方形有,因此要證平面,而要證此線面垂直,只要證,這由長方體的性質(zhì)可得;(Ⅱ)假設(shè)存在,以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點(diǎn)坐標(biāo),并設(shè),用向量法求出AD1與平面D1EC成的角,從而求出,若能求出,說明存在,若不能求出,說明不存在.
試題解析:
(Ⅰ)證明:∵AE⊥平面AA1DD1,A1D平面AA1DD1,
∴AE⊥A1D,
∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,
∴A1D⊥AD1,
∵AE∩AD1=A,∴A1D⊥平面AED1,
∵D1E平面AED1,∴A1D⊥D1E.
(Ⅱ)解:以D為原點(diǎn),DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)棱AB上存在點(diǎn)E(1,t,0),(0≤t≤2),使得AD1與平面D1EC成的角為,
A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),
=(﹣1,0,1),=(0,﹣2,1),=(1,t﹣2,0),
設(shè)平面D1EC的法向量為=(x,y,z),
則,取y=1,得=(t﹣1,1,2),
∴,
整理,得t2﹣10t+12=0,
解得或(舍),
∴在棱AB上存在點(diǎn)E使得AD1與平面D1EC成的角為,AE=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓+y2=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B關(guān)于直線y=mx+對稱.
(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)求△AOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;
(2)求直線與曲線的交點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知下列命題:
①意味著每增加一個(gè)單位,平均增加8個(gè)單位
②投擲一顆骰子實(shí)驗(yàn),有擲出的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)和擲出的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)兩個(gè)基本事件
③互斥事件不一定是對立事件,但對立事件一定是互斥事件
④在適宜的條件下種下一顆種子,觀察它是否發(fā)芽,這個(gè)實(shí)驗(yàn)為古典概型
其中正確的命題有__________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)P是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D是P在x軸上的投影,M為線段PD上一點(diǎn),且,
(1)當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為的直線被軌跡C所截線段的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為x軸正半軸且單位長度相同的極坐標(biāo)系中曲線C1:ρ=1, (t為參數(shù)).
(Ⅰ)求曲線C1上的點(diǎn)到曲線C2距離的最小值;
(Ⅱ)若把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)都擴(kuò)大為原來的2倍,縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的 倍,得到曲線 .設(shè)P(﹣1,1),曲線C2與 交于A,B兩點(diǎn),求|PA|+|PB|.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,且,設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減, 函數(shù)在上為增函數(shù), 為假, 為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)關(guān)于的一元二次方程.
(1)若從, , , 四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù), 是從, , 三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率;
(2)若是從區(qū)間上任取的一個(gè)數(shù), 是從區(qū)間上任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.
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