如圖(1)，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，CD＝BE＝，O為BC的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，得到如圖(2)所示的四棱錐，其中．

(Ⅰ)證明：平面BCDE；

(Ⅱ)求二面角的平面角的余弦值．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)在圖(1)中，易得

　　連結(jié)，在中，由余弦定理可得

　　

　　由翻折不變性可知，

　　所以，所以，

　　理可證，又，所以平面．

　　(Ⅱ)傳統(tǒng)法：過作交的延長線于，連結(jié)，

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60R0/0768/0018/bd9acfbed81a376c991810dfb3eccf10/C/Image102.gif" width=45 height=18>平面，所以，

　　所以為二面角的平面角．

　　結(jié)合圖1可知，為中點(diǎn)，故，從而

　　所以，所以二面角的平面角的余弦值為．

　　向量法：以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz如圖所示，

　　則，，

　　所以，

　　設(shè)為平面的法向量，則

　　，即，解得，令，得

　　由(Ⅰ)知，為平面的一個(gè)法向量，

　　所以，即二面角的平面角的余弦值為．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北海一模）如圖（1）在等腰△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC和BC邊的中點(diǎn)，∠ACB=120°，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（如圖（2））
（I）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；
（II）求二面角E-DF-C的余弦值；
（III）在線段BC是否存在一點(diǎn)P，但AP⊥DE？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年湖南省長沙市高考模擬文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2。將△ABD沿邊AB折起， 使得△ABD與△ABC成直二面角,如圖二，在二面角中.

(1)求證：BD⊥AC；

(2)求D、C之間的距離；

(3)求DC與面ABD成的角的正弦值。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年福建省泉州市高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分13分）

如圖1，在等腰梯形中，，，，為上一點(diǎn)， ，且．將梯形沿折成直二面角，如圖2所示．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)在所在平面內(nèi)，且直線與平面所成的角為，試求出點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年浙江省高三下學(xué)期2月月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

（本題滿分14分） 如圖(1)在等腰中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC和BC邊的中點(diǎn)，，現(xiàn)將沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如圖(2))

        

（I）試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由；

（II）求二面角E-DF-C的余弦值；

（III）在線段BC是否存在一點(diǎn)P，但APDE？證明你的結(jié)論.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆江西省上饒市、德興一中等高二四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

如圖(1)在等腰中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC和BC邊的中點(diǎn)，，

現(xiàn)將沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如圖(2))

(I)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，

并說明理由；(II).求二面角E-DF-C的余弦值；

(III)在線段BC是否存在一點(diǎn)P，但APDE？證明你的結(jié)論.

 

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