已知函數(shù)f(x)=mx-lnx-3(m∈R).
(1)討論函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,存在x∈(0,+∞)使f(x)≤nx-4有解,求實(shí)數(shù)n的取值范圍;
(3)當(dāng)0<a<b<4且b≠e時(shí)試比較
1-lna
1-lnb
a
b
分析:(1)f′(x)=m-
1
x
=
mx-1
x
 (x>0)
,由此進(jìn)行分類討論,能求出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).
(2)由函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,知m=1,故f(x)≥nx-4?n≥1-
lnx
x
+
1
x
,由此能求出實(shí)數(shù)n的取值范圍.
(3)由于0<a<b<4且b≠e,則
1-lna
a
1-lnb
b

又由(2)可知,g(x)=1+
1-lnx
x
在 (0,4)上是減函數(shù),由此能夠比較
1-lna
1-lnb
a
b
的大小關(guān)系.
解答:解:(1)f′(x)=m-
1
x
=
mx-1
x
 (x>0)

當(dāng)m≤0時(shí),f'(x)<0無(wú)極值
當(dāng)m>0時(shí),f'(x)=0時(shí)x=
1
m

則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,  
1
m
)
上單調(diào)遞減,在區(qū)間
1
m
,+∞ )
上單調(diào)遞增.
x=
1
m
為極小值點(diǎn),無(wú)極大值點(diǎn)
(2)f'(1)=m-1=0,∴m=1,∴f(x)=x-lnx-3
由題意知,x-ln3-3≤nx-4在x∈(0,+∞)有解
n≥1-
lnx
x
+
1
x
有解,
g(x)=1-
lnx
x
+
1
x
,即n≥g(x)min,g′(x)=-
2-lnx
x2

則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e2)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(e2,+∞)上單調(diào)遞增.
g(x)min=g(e2)=1-
2
e2
+
1
e2
=1-
1
e2

n≥1-
1
e2

(3)由 (2)知g(x)=1+
1-lnx
x
在 (0,4)上是減函數(shù)
∵0<a<b<4,∴g(a)>g(b)
1-lna
a
1-lnb
b
,∴b(1-lna)>a(1-lnb)
當(dāng)0<b<e時(shí),1-lnb>0,∴
1-lna
1-lnb
a
b
;
當(dāng)e<b<4時(shí),1-lnb<0,∴
1-lna
1-lnb
a
b
點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)的求極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)的求法,考查滿足條件的實(shí)數(shù)的求法,考查不等式的證明.解題時(shí)要合理運(yùn)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì),注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的靈活運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m•2x+t的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*
(1)求Sn及an;
(2)若數(shù)列{cn}滿足cn=6nan-n,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m(x+
1
x
)的圖象與h(x)=(x+
1
x
)+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A(0,1)對(duì)稱.
(1)求m的值;
(2)若g(x)=f(x)+
a
4x
在(0,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
,
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相鄰兩對(duì)稱軸間的距離不小于
π
2

(Ⅰ)求ω的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,a=
3
,b+c=3,當(dāng)ω最大時(shí),f(A)=1,求△ABC的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

以下兩題任選一題:(若兩題都作,按第一題評(píng)分)
(一):在極坐標(biāo)系中,圓ρ=2cosθ的圓心到直線θ=
π
3
(ρ∈R)的距離
3
2
3
2
;
(二):已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,當(dāng)不等式f(x+2)≥0的解集為[-2,2]時(shí),實(shí)數(shù)m的值為
2
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R+,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m,求Z=a+2b+3c的最小值.

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