Question

（2013•未央?yún)^(qū)三模）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）證明：平面BDE⊥平面PBC．

Answer 1

分析：（1）連結(jié)AC，設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連結(jié)EO，易證EO為△PAC的中位線，從而OE∥PA，再利用線面平行的判斷定理即可證得PA∥平面BDE；
（2）依題意，易證DE⊥底面PBC，再利用面面垂直的判斷定理即可證得平面BDE⊥平面PBC．

解答：證明：（1）連結(jié)AC，設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，連結(jié)EO．
∵底面ABCD是正方形，
∴O為AC的中點(diǎn)，又E為PC的中點(diǎn)，
∴OE∥PA，
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．…（6分）
（2）∵PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，
∴DE⊥PC．
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AD．又由于AD⊥CD，PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，
所以有AD⊥DE．又由題意得AD∥BC，故BC⊥DE．
于是，由BC∩PC=C，DE⊥PC，BC⊥DE可得DE⊥底面PBC．
故可得平面BDE⊥平面PBC．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，考查平面與平面垂直的判定，在（1）中證得EO為△PAC的中位線，在（2）中證得DE⊥底面PBC是關(guān)鍵，考查推理證明的能力，屬于中檔題．