Question

在平面直角坐標(biāo)系中，若，，且．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)N（2，1），是否存在一條直線l與軌跡C相交于A、B兩點(diǎn)，且以點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把代入，化簡(jiǎn)，即可得到動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C的方程．
（Ⅱ）先假設(shè)存在以點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)的直線l，設(shè)A，B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A，B點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求斜率，若能求出，則存在，寫出直線方程，若求不出，則不存在．
解答：解：（Ⅰ）∵，，且
∴，即動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到兩定點(diǎn)F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）的距離距離之和為常數(shù)10                 
∵10＞8，∴動(dòng)點(diǎn)M（x，y）的軌跡C是以F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0）為焦點(diǎn)，2a=10的橢圓∴
（Ⅱ）假設(shè)存在以點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)的直線l，
顯然直線l不可能與x軸垂直，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），則∵點(diǎn)A、B在橢圓C：上，
∴，
∴
又∵點(diǎn)N是線段AB的中點(diǎn)，N（2，1），∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2
∴，
∴
∴直線l：，即18x+25y-61=0
故存在滿足以點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)的直線l，
其方程為18x+25y-61=0
點(diǎn)評(píng)：本題是平面向量與圓錐曲線相綜合的問題，主要考查平面向量基本運(yùn)算、橢圓求法以及中點(diǎn)弦問題，考查解析幾何“設(shè)而不求”的技巧．解析幾何板塊在歷屆高考中必有一個(gè)解答題，而且在以往高考試卷中多以壓軸題形態(tài)出現(xiàn)；在近年的一些省市高考卷中，解析幾何類題目是以中檔題形態(tài)出現(xiàn)，在備戰(zhàn)高考時(shí)應(yīng)留意解析幾何這一新動(dòng)態(tài)．