【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED⊥平面ABNCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE= ,∠BAD=60°,G為BC的中點(diǎn).
(1)求證:FG∥平面BED;
(2)求證:平面BED⊥平面AED;
(3)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.

【答案】
(1)

證明:BD的中點(diǎn)為O,

連接OE,OG,在△BCD中,

∵G是BC的中點(diǎn),

∴OG∥DC,且OG= DC=1,

又∵EF∥AB,AB∥DC,

∴EF∥OG,且EF=0G,

即四邊形OGEF是平行四邊形,

∴FG∥OE,

∵FG平面BED,OE平面BED,

∴FG∥平面BED;


(2)

證明:在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,

由余弦定理可得BD= ,僅而∠ADB=90°,

即BD⊥AD,

又∵平面AED⊥平面ABCD,

BD平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,

∴BD⊥平面AED,

∵BD平面BED,

∴平面BED⊥平面AED


(3)

解:∵EF∥AB,

∴直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角,

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DH于點(diǎn)H,連接BH,

又平面BED∩平面AED=ED,

由(2)知AH⊥平面BED,

∴直線AB與平面BED所成的為∠ABH,

在△ADE,AD=1,DE=3,AE= ,由余弦定理得cos∠ADE= ,

∴sin∠ADE=

∴AH=AD ,

在Rt△AHB中,sin∠ABH= = ,

∴直線EF與平面BED所成角的正弦值


【解析】(1)利用中位線定理,和平行公理得到四邊形OGEF是平行四邊形,再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明;
(2)根據(jù)余弦定理求出BD= ,繼而得到BD⊥AD,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明;
(3)先判斷出直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所形成的角,再根據(jù)余弦定理和解直角三角形即可求出答案.
本題考查了直線與平面的平行和垂直,平面與平面的垂直,直線與平面所成的角,考查了空間想象能力,運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于中檔題.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關(guān)知識(shí),掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行,以及對(duì)平面與平面垂直的判定的理解,了解一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人,求至少抽到一名“25周歲以下組工人的概率;

(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為生產(chǎn)能手,請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)?

K2

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②求p的取值范圍.

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(1)求證: ;

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