Question

（本小題共13分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)， 且使點(diǎn)為△的垂心（垂心：三角形三邊高線的交點(diǎn)）？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由△是等腰直角三角形，得，，
故橢圓方程為．   　　　　               …………5分
（Ⅱ）假設(shè)存在直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且為△的垂心，
設(shè)，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823205737293604.png" style="vertical-align:middle;" />，，故．                    …………7分
于是設(shè)直線的方程為，
由得．
由，得， 且,．   ……9分
由題意應(yīng)有，又，
故，
得．
即．
整理得．
解得或．                              …………12分
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，△不存在，故舍去．
當(dāng)時(shí)，所求直線存在，且直線的方程為．
…………13分

本題考查橢圓的方程和直線與橢圓的相交問(wèn)題，考查學(xué)生利用待定系數(shù)法和解析法的解題能力. 待定系數(shù)法：如果題目給出是何曲線，可根據(jù)題目條件，恰當(dāng)?shù)脑O(shè)出曲線方程，然后借助條件進(jìn)一步確定求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)從“定形”“定式”“定量”三個(gè)方面去思考。“定形”是指對(duì)稱(chēng)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在哪條對(duì)稱(chēng)軸上；“定式”是指根據(jù)“形”設(shè)出相應(yīng)的橢圓方程的具體形式；“定量”是指利用定義法或待定系數(shù)法確定的值.本題第一問(wèn)利用橢圓的離心率和直線與橢圓相切判別式為0得到兩個(gè)等式求解的值；關(guān)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的存在性問(wèn)題，一般先假設(shè)存在滿(mǎn)足題意的元素，經(jīng)過(guò)推理論證，如果得到可以成立的結(jié)果，就可以作出存在的結(jié)論；若得到與已知條件、定義、公理、定理、性質(zhì)相矛盾的量，則說(shuō)明假設(shè)不成立.本題的第二問(wèn)就是利用這個(gè)解題思路，借助韋達(dá)定理和距離公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化和探索.