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(本小題滿分14分)
已知函數滿足,對于任意R都有,且
,令.
(1)求函數的表達式;
(2)求函數的單調區(qū)間;
(3)研究函數在區(qū)間上的零點個數.
(本小題滿分14分)
(本小題主要考查二次函數、函數的性質、函數的零點、分段函數等知識, 考查函數與方程、分類與整合的數學思想方法,以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和應用意識)
(1) 解:∵,∴.                                           …… 1分        
∵對于任意R都有,
∴函數的對稱軸為,即,得.         …… 2分
,即對于任意R都成立,
,且
    ∵,     ∴
    ∴.                                              …… 4分
(2) 解:             …… 5分
① 當時,函數的對稱軸為
,即,函數上單調遞增;         …… 6分
,即,函數上單調遞增,在上單調遞減.
…… 7分
② 當時,函數的對稱軸為,
 則函數上單調遞增,在上單調遞減.  …… 8分
綜上所述,當時,函數單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為
;                                                    …… 9分
時,函數單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為
.                                        …… 10分
(3)解:① 當時,由(2)知函數在區(qū)間上單調遞增,
     又,
     故函數在區(qū)間上只有一個零點.                      …… 11分
   、 當時,則,而
    ,
(。┤,由于,
,
此時,函數在區(qū)間上只有一個零點;                   …… 12分
   。áⅲ┤,由于,此時,函數在區(qū)間  
上有兩個不同的零點.                                         …… 13分
    綜上所述,當時,函數在區(qū)間上只有一個零點;
         當時,函數在區(qū)間上有兩個不同的零點. …… 14分
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