已知
f(
x)=
x3+
mx2-
x+2(
m∈
R)
如果函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間恰為(-
,1),求函數(shù)
f(
x)的解析式;
(2)若
f(
x)的導函數(shù)為
f '(
x),對任意
x∈(0,+∞),不等式
f '(
x)≥2
xlnx-1恒成立,求實數(shù)
m的取值范圍.
(1)f(x)=x3-x2-x+2
(2)m的取值范圍是[ln2-ln3e,+∞).
(1)
f '(
x)=3
x2+2
mx-1,
由題意,
f '(
x)=3
x2+2
mx-1<0的解集是(-
,1),
即3
x2+2
mx-1=0的兩根分別為-
,1,將
x=1或-
代入方程3
x2+2
mx-1=0得
m=-1,
∴
f(
x)=
x3-
x2-
x+2,
(2)由題意知3
x2+2
mx-1≥2
xlnx-1在
x∈(0,+∞)恒成立,
即
m≥
lnx-
x在
x∈(0,+∞)恒成立,
設
h(
x)=
lnx-
x,則
h'(
x)=
-
,
令
h'(
x)=0得
x=
,
當0<
x<
時,
h'(
x)>0;當
x>
時,
h'(
x)<0,
∴當
x=
時,
h(
x)取得最大值為
ln-1=
ln2-
ln3
e,
表明
m≥
ln2-
ln3
e,
因此
m的取值范圍是[
ln2-
ln3
e,+∞).
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
在
處取得極值.
(Ⅰ)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求證:
,
.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分16分)已知函數(shù)
.(Ⅰ)當
時,求證:函數(shù)
在
上單調(diào)遞增;(Ⅱ)若函數(shù)
有三個零點,求
的值;
(Ⅲ)若存在
,使得
,試求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
的圖像過點P(-1,2),且在點P處的切線恰好與直線
垂直。
(1)求函數(shù)
的解析式;
(2)若函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,求實數(shù)m的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知
(Ⅰ)求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求函數(shù)
在
上的最小值;
(Ⅲ)對一切的
,
恒成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設函數(shù)
為奇函數(shù),其圖象在點
處的切線與直線
垂直,且在x=-1處取得極值.
(Ⅰ)求
a,
,
的值;
(Ⅱ)求函數(shù)
在
上的最大值和最小值。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)
,
,設
.
(Ⅰ)當
時,求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若以函數(shù)
圖象上任意一點
為切點的切線斜率
恒成立,求實數(shù)
的最小值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知定義在
上的奇函數(shù)
在
處取得極值.
(Ⅰ)求函數(shù)
的解析式;
(Ⅱ)試證:對于區(qū)間
上任意兩個自變量的值
,都有
成立;
(Ⅲ)若過點
可作曲線
的三條切線,試求點
P對應平面區(qū)域的面積.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本題10分)已知函數(shù)
有極值.
(1)求
的取值范圍;
(2)若
在
處取得極值,且當
時,
恒成立,求
的取值范圍.
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