已知數(shù)列滿足:是數(shù)列的前n項(xiàng)和.數(shù)列前n項(xiàng)的積為,且
(Ⅰ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)是否存在常數(shù)a,使得成等差數(shù)列?若存在,求出a,若不存在,說(shuō)明理由;
(Ⅲ)是否存在,滿足對(duì)任意自然數(shù)時(shí),恒成立,若存在,求出m的值;若不存在,說(shuō)明理由.

(Ⅰ),;(Ⅱ)不存在;(Ⅲ).

解析試題分析:(Ⅰ)由條件可得數(shù)列隔項(xiàng)成等差數(shù)列,從而分別得到n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的通項(xiàng)公式,合并即得數(shù)列的通項(xiàng)公式.再由數(shù)列前n項(xiàng)的積為,由再驗(yàn)證時(shí)的情況,即可得到的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)先求出的表達(dá)式,再假設(shè)成等差數(shù)列,由等差中項(xiàng)的知識(shí),,代入發(fā)現(xiàn)等式恒不成立,從而得到不存在常數(shù)a 使數(shù)列成等差數(shù)列的結(jié)論;(Ⅲ)由上問(wèn)可知即證明存在,滿足對(duì)任意自然數(shù)時(shí),,易知存在m=4使得當(dāng)時(shí),恒成立.接著用數(shù)學(xué)歸納法證明之.
試題解析:(Ⅰ)由題知,∴,∴
即數(shù)列隔項(xiàng)成等差數(shù)列,                          1分
 
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),,
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),                   2分
∴對(duì)一切              3分
,當(dāng)時(shí),且時(shí)滿足上式,
∴對(duì)一切                      5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,數(shù)列成等差數(shù)列,∴
     7分
若存在常數(shù)a,使得成等差數(shù)列,則時(shí)恒成立

∴不存在常數(shù)a 使數(shù)列成等差數(shù)列                9分
(Ⅲ)存在使得當(dāng)時(shí),恒成立,
即當(dāng)時(shí),,下面用用數(shù)學(xué)歸納法證明:
①當(dāng)時(shí),.
②假設(shè)時(shí),成立,即.
則當(dāng),所以時(shí),成立.
綜合①②得,成立.所以當(dāng)時(shí),.     13分
考點(diǎn):1.等差數(shù)列通項(xiàng)公式;2.等差中項(xiàng);3.數(shù)學(xué)歸納法.

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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為,且,令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

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已知為等比數(shù)列,是等差數(shù)列,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和;
(Ⅱ)設(shè),,其中,試比較的大小,并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知,數(shù)列的前項(xiàng)和為,點(diǎn)在曲線,且,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)求證:,.

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設(shè)是等差數(shù)列,是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列,且.
(1)求,的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知等差數(shù)列的首項(xiàng),前項(xiàng)和為
(I)求;
(Ⅱ)設(shè),,求的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

數(shù)列項(xiàng)和,數(shù)列滿足),
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求證:當(dāng)時(shí),數(shù)列為等比數(shù)列;
(3)在題(2)的條件下,設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若數(shù)列中只有最小,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

在等差數(shù)列和等比數(shù)列中,a1=2,  2b1=2,  b6=32,  的前20項(xiàng)和S20=230.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)現(xiàn)分別從的前4中各隨機(jī)抽取一項(xiàng),寫(xiě)出相應(yīng)的基本事件,并求所取兩項(xiàng)中,滿足an>bn的概率.

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