如圖所示,已知圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0,2),與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)),且|MN|=3,已知橢圓D:+=1(a>b>0)的焦距等于2|ON|,且過點(diǎn)（,）.

(1)求圓C和橢圓D的方程;
(2)若過點(diǎn)M斜率不為零的直線l與橢圓D交于A、B兩點(diǎn),求證:直線NA與直線NB的傾斜角互補(bǔ).

（1）（x-）2+(y-2)2= +=1  （2）見解析

解析(1)解:設(shè)圓的半徑為r,由題意,圓心為(r,2),
因?yàn)閨MN|=3,
所以r2=（）2+22=,r=,
故圓C的方程是（x-）2+(y-2)2=           ①
在①中,令y=0解得x=1或x=4,
所以N(1,0),M(4,0).
由得c=1,a=2,
故b2=3.
所以橢圓D的方程為+=1.
(2)證明:設(shè)直線l的方程為y=k(x-4).
由
得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0                    ②
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x1+x2=,x1x2=.
當(dāng)x1≠1,x2≠1時(shí),
kAN+kBN=+
=+
=k·
=·[2x1x2-5(x1+x2)+8]
=·
=0.
所以kAN=-kBN,
當(dāng)x1=1或x2=1時(shí),k=±,
此時(shí),對(duì)方程②,Δ=0,不合題意.
所以直線AN與直線BN的傾斜角互補(bǔ).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，以點(diǎn)P為圓心的圓與圓x2+y2-2y=0外切且與x軸相切(兩切點(diǎn)不重合)．
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)若直線mx一y+2m+5=0(m∈R)與點(diǎn)P的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，問：當(dāng)m變化時(shí)，以線段AB為直徑的圓是否會(huì)經(jīng)過定點(diǎn)?若會(huì)，求出此定點(diǎn)；若不會(huì)，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C:的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切。
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點(diǎn)M(2，0)的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)A和B，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足·（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng) 時(shí)，求實(shí)數(shù)t取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，其上一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的最短距離為
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線交橢圓于兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)求直線的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A(1,0),過C1的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為1.

(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P在拋物線C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在點(diǎn)P處的切線與C1交于點(diǎn)M,N.當(dāng)線段AP的中點(diǎn)與MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等時(shí),求h的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,焦距為2,過F1作垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦PQ,|PQ|為3.
(1)求橢圓E的方程;
(2)若過F1的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),判斷是否存在直線l使得∠AF2B為鈍角,若存在,求出l的斜率k的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示,已知拋物線E:y2=x與圓M:(x-4)2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn).

(1)求r的取值范圍;
(2)當(dāng)四邊形ABCD的面積最大時(shí),求對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上且過點(diǎn)，離心率是．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線過點(diǎn)且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)A(2,0),離心率為,直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.
(1)求橢圓C的方程.
(2)當(dāng)△AMN的面積為時(shí),求k的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案