Question

已知離心率為的橢圓C：過(guò)（1，）
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得在此橢圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱，若存在請(qǐng)求出m，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由離心率為的橢圓C：過(guò)（1，），知，由此能求出橢圓C的方程．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得在此橢圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)M（x，y），因?yàn)樵诖藱E圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱，所以，再用點(diǎn)差法進(jìn)行求解．
解答：解：（1）∵離心率為的橢圓C：過(guò)（1，），
∴，解得a²=4，b²=3，c²=1，
∴橢圓C的方程為
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得在此橢圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)M（x，y），
∵在此橢圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱，
∴，
∵，，
相減得，即y₁+y₂=3（x₁+x₂），
∴y=3x，3x=4x+m，x=-m，y=-3m
而M（x，y）在橢圓內(nèi)部，則，即．
故存在實(shí)數(shù)m∈（-，），使得在此橢圓C上存在不同兩點(diǎn)關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高．解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．