Question

（2012•青浦區(qū)一模）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別a、b、c，已知a+b=5，c=

7

，且sin²2C+sin2C•sinC-2sin²C=0．
（Ⅰ） 求角C的大小；
（Ⅱ） 求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將已知的等式左邊第一、二項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，提取2sin²C分解因式，由C為三角形的內(nèi)角，得到sinC不為0，得到sin²C不為0，進(jìn)而得到關(guān)于cosC的式子為0，求出cosC的值，再由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（Ⅱ）由C的度數(shù)求出cosC與sinC的值，利用余弦定理表示出cosC，利用完全平方公式變形后，將a+b，c及cosC的值代入求出ab的值，再由ab及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵sin²2C+sin2C•sinC-2sin²C=0，
∴4sin²C•cos²C+2sin²C•cosC-2sin²C=0，即2sin²C（2cos²C+cosC-1）=0，
∵sinC≠0，即sin²C≠0，
∴2cos²C+cosC-1=0，即（2cosC-1）（cosC+1）=0，
∴cosC=-1（舍去）或cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

；
（Ⅱ）∵cosC=cos

π

3

=

1

2

，且cosC=

a2+b2-c2

2ab

，
∴

a2+b2-c2

2ab

=

(a+b)2-2ab-c2

2ab

=

1

2

，
又∵a+b=5，c=

7

，
∴

25-2ab-7

2ab

=

1

2

，
整理得：ab=6，又sinC=

3

2

，
則S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：二倍角的正弦函數(shù)公式，余弦定理，三角形的面積公式，完全平方公式的運(yùn)用，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．