(本小題共13分)
如圖所示,正方形與矩形所在平面互相垂直,,點E為的中點。
(Ⅰ)求證:
(Ⅱ) 求證:
(Ⅲ)在線段AB上是否存在點,使二面角的大小為?若存在,求出的長;若不存在,請說明理由。
(1)根據(jù)三角形的中位線,那么可以// ,然后結(jié)合線面平行的判定定理可知結(jié)論。
(2)結(jié)合已知中正方形的心智,以及,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理得到線線垂直。
(3)
解析試題分析:(Ⅰ) , 點E為的中點,連接。
的中位線// ……2分
又
……4分
(II) 正方形中,
由已知可得:, …….6分
, …….7分
…….8分
(Ⅲ)由題意可得:,以點D為原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,
9分
設(shè)
10分
設(shè)平面的法向量為
則
得 11分
取是平面的一個法向量,而平面的一個法向量為 12分
要使二面角的大小為
而
解得:
當(dāng)=時,二面角的大小為 13分
考點:空間中的線面平行和線線垂直以及二面角的求解
點評:解決平行和垂直的證明,一般要用到判定定理和性質(zhì)定理,然后結(jié)合空間向量法來求解二面角,屬于基礎(chǔ)題。
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,側(cè)棱底面,底面為矩形,,為的上一點,且,為PC的中點.
(Ⅰ)求證:平面AEC;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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(本小題滿分12分)在三棱錐中,是邊長為4的正三角形,,,、分別是、的中點;
(1)證明:平面平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示在四棱錐P—ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形,△PAB為等邊三角形。(12分)
(1)求PC和平面ABCD所成角的大。
(2)求二面角B─AC─P的大小。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知如圖(1),正三角形ABC的邊長為2a,CD是AB邊上的高,E、F分別是AC和BC邊上的點,且滿足,現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B,如圖(2).
(Ⅰ) 求二面角B-AC-D的大小;
(Ⅱ) 若異面直線AB與DE所成角的余弦值為,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,在三棱錐D-ABC中,已知△BCD是正三角形,AB⊥平面BCD,AB=BC=a,E為BC的中點,F在棱AC上,且AF=3FC.
(1)求三棱錐D-ABC的表面積;
(2)求證AC⊥平面DEF;
(3)若M為BD的中點,問AC上是否存在一點N,使MN∥平面DEF?若存在,說明點N的位置;若不存在,試說明理由.
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