Question

如圖4，已知平面是圓柱的軸截面（經過圓柱的軸的截面），BC是圓柱底面的直徑，O為底面圓心，E為母線的中點，已知
（I））求證：⊥平面；
（II）求二面角的余弦值．
（Ⅲ）求三棱錐的體積.

Answer 1

（I））見解析（II）（Ⅲ）8

解：依題意可知， 平面ABC，∠＝90°，
方法1：空間向量法 如圖建立空間直角坐標系，

因為＝4，
則
（I），
，∴，∴
，     ∴，∴
∵ 平面 ∴ ⊥平面        （5分）
（II） 平面AEO的法向量為，設平面 B₁AE的法向量為
， 即      
令x＝2，則
∴
∴二面角B₁—AE—F的余弦值為                         （10分）
（Ⅲ）因為，∴， ∴
∵，
∴            (14 分)
方法2：
依題意可知， 平面ABC，∠＝90°，，∴
（I）∵，O為底面圓心，∴BC⊥AO，又∵B₁B⊥平面ABC，可證B₁O⊥AO， 
因為＝，則,∴
∴B₁O⊥EO，∴⊥平面；                                    （5分）
（II）過O做OM⊥AE于點M，連接B₁M，
∵B₁O⊥平面AEO，可證B₁M⊥AE，
∴∠B₁MO為二面角B₁—AE—O的平面角，
C₁C⊥平面ABC，AO⊥OC，可證EO⊥AO，
在Rt△AEO中，可求， 
在Rt△B₁OM中，∠B₁OM＝90°，∴
∴二面角B₁—AE—O的余弦值為                 （10分）
（Ⅲ）因為AB=AC，O為BC的中點，所以
又平面平面，且平面平面，
所以平面, 故是三棱錐的高
∴       (14分)