【題目】如圖，在空間幾何體中，平面平面，與都是邊長為2的等邊三角形，，點在平面上的射影在的平分線上，已知和平面所成角為.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析：（1）取中點，連接，先證明，再證明平面. （2）由已知，兩兩互相垂直，故以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向量法求二面角的余弦值.

詳解：（1）證明：由題意知，與都是邊長為2的等邊三角形，取中點，連接，則，.

又∵平面平面，平面，作平面，

那么，根據(jù)題意，點落在上，

∵和平面所成角為，∴.

∵，∴，

∴四邊形是平行四邊形，∴，∴平面，平面，

∴平面.

（2）由已知，兩兩互相垂直，故以為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，得，，.

∴，，設平面的一個法向量為.

∵，∴.令，∴取，

又∵平面的一個法向量，∴.

又由圖知，所求二面角的平面角為銳角，∴ 二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
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【題目】某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量（單位：千克）與銷售價格（單位：元/千克）滿足，其中，為常數(shù).已知銷售價格為7元/千克時，每日可售出該商品11千克.

（1）求的值；

（2）若該商品成本為5元/千克，試確定銷售價格值，使商場每日銷售該商品所獲利潤最大.

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【題目】2018年2月9-25日，第23屆冬奧會在韓國平昌舉行.4年后，第24屆冬奧會將在中國北京和張家口舉行.為了宣傳冬奧會，某大學在平昌冬奧會開幕后的第二天，從全校學生中隨機抽取了120名學生，對是否收看平昌冬奧會開幕式情況進行了問卷調查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

(Ⅰ)根據(jù)上表說明，能否有的把握認為，收看開幕式與性別有關？

(Ⅱ)現(xiàn)從參與問卷調查且收看了開幕式的學生中，采用按性別分層抽樣的方法，選取12人參加2022年北京冬奧會志愿者宣傳活動.

(ⅰ)問男、女學生各選取了多少人？

(ⅱ)若從這12人中隨機選取3人到校廣播站開展冬奧會及冰雪項目的宣傳介紹，設選取的3人中女生人數(shù)為，寫出的分布列，并求.

收看

沒收看

男生

60

20

女生

20

20

附：，其中.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的長軸長為，且橢圓與圓： 的公共弦長為.

（1）求橢圓的方程.

（2）經過原點作直線（不與坐標軸重合）交橢圓于， 兩點， 軸于點，點在橢圓上，且，求證： ， ， 三點共線..

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【題目】已知為拋物線：的焦點，過的動直線交拋物線于，兩點．當直線與軸垂直時，．

（1）求拋物線的方程；

（2）設直線的斜率為1且與拋物線的準線相交于點，拋物線上存在點使得直線，，的斜率成等差數(shù)列，求點的坐標．

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【題目】學校藝術節(jié)對同一類的四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下：

甲說：“或作品獲得一等獎”；

乙說：“作品獲得一等獎”；

丙說：“， 兩項作品未獲得一等獎”；

丁說：“作品獲得一等獎”.

若這四位同學只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是（ ）

A. B. C. D.

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【題目】已知橢圓的離心率為，，分別是其左、右焦點，且過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若在直線上任取一點，從點向的外接圓引一條切線，切點為.問是否存在點，恒有？請說明理由.

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【題目】已知如圖1所示，在邊長為12的正方形,中，,且,分別交于點,將該正方形沿,折疊，使得與重合，構成如圖2 所示的三棱柱,在該三棱柱底邊上有一點,滿足; 請在圖2 中解決下列問題:

(I)求證:當時，//平面；

(Ⅱ)若直線與平面所成角的正弦值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知傾斜角為的直線經過拋物線：的焦點，與拋物線相交于、兩點，且.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）過點的兩條直線、分別交拋物線于點、和、，線段和的中點分別為、.如果直線與的斜率之積等于1，求證：直線經過一定點.

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