如圖,四棱錐的底面是平行四邊形,,,分別是棱的中點.
(1)證明平面
(2)若二面角P-AD-B為,
①證明:平面PBC⊥平面ABCD
②求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.
 
(1)詳見解析, (2)①詳見解析,②

試題分析:(1)證明線面平行,一般利用線線平行進行證明.本題條件中的中點較多,所以取PB中點M,利用中位線性質(zhì)找尋平行條件.因為F為PC中點,故MF//BC且MF=BC.由已知有BC//AD,BC=AD.又由于E為AD中點,因而MF//AE且MF=AE,故四邊形AMFE為平行四邊形,所以EF//AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF//平面PAB.,(2)①證明面面垂直,關(guān)鍵在一個面內(nèi)找出另一平面的垂線.經(jīng)分析BE平面PBC.這是因為通過計算可得BEPB, 又BC//AD,BEAD,從而BEBC,②求線面角,關(guān)鍵是找面的垂線,由①知BE平面PBC.所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角,下面只需分別求出BE與EF的值即可.在三角形ABP中,可求得AM=,故EF=,又BE=1,故在直角三角形EBF中,所以,直線EF與平面PBC所成角的正弦值為
證明(1)如圖取PB中點M,連接MF,AM.因為F為PC中點,故MF//BC且MF=BC.由已知有BC//AD,BC=AD.又由于E為AD中點,因而MF//AE且MF=AE,故四邊形AMFE為平行四邊形,所以EF//AM,又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF//平面PAB.

(2)①連接PE,BE.因為PA=PD,BA=BD,而E為AD中點,故PEAD,BEAD,所以PEB為二面角P-AD-B的平面角.在三角形PAD中,由,可解得PE=2.在三角形ABD中,由,可解得BE=1.在三角形PEB中,PE="2," BE="1," ,由余弦定理,可解得PB=,從而,即BEPB,又BC//AD,BEAD,從而BEBC,因此BE平面PBC.又BE平面ABCD,所以平面PBC平面ABCD,②連接BF,由①知BE平面PBC.所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角,由PB=,PA=,AB=ABP為直角,而MB=PB=,可得AM=,故EF=,又BE=1,故在直角三角形EBF中,所以,直線EF與平面PBC所成角的正弦值為
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;②是異面直線的公垂線;③當(dāng)二面角是直二面角時,間的距離為;④垂直于截面.
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下列四個命題中,正確命題的個數(shù)是(    )個
① 若平面平面,直線平面,則;
② 若平面平面,且平面平面,則;
③平面平面,且,點,,若直線,則;
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[2013·安徽高考]在下列命題中,不是公理的是(  )
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