Question

如圖，正方體AC₁中，E，F(xiàn)分別是A₁B₁，B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線DB₁與EF所成角的大小；
（Ⅱ）求異面直線AD₁與EF所成角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專(zhuān)題：空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）分別以DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出向量

DB1

，

EF

的坐標(biāo)，求這兩向量的夾角即能得到異面直線DB₁，EF所成角；
（Ⅱ）求出向量AD₁的坐標(biāo)，然后求向量

AD1

，

EF

的夾角，這樣即可得到異面直線AD₁，EF的夾角．

解答： 解：如圖，分別以邊DA，DC，DD₁所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz；
設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1，則可確定以下幾點(diǎn)坐標(biāo)：
D（0，0，0），B₁（（1，1，1），E（1，

1

2

，1），F(

1

2

，1，1)，A（1，0，0），D₁（0，0，1）；
∴

DB1

=(1，1，1)，

EF

=(-

1

2

，

1

2

，0)，

AD1

=(-1，0，1)；
∴（Ⅰ）cos＜

DB1

，

EF

＞=

DB1 • EF

| DB1 || EF |

=0；
∴向量

DB1

，

EF

的夾角為90°；
∴異面直線DB₁，EF所成角為90°；
（Ⅱ）cos＜

AD1

，

EF

＞=

AD1 • EF

| AD1 || EF |

=

1 2

2 • 1 2

=

1

2

；
∴向量

AD1

，

EF

夾角為60°；
∴異面直線AD₁與EF所成角為60°．

點(diǎn)評(píng)：考查通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線所成角的方法，由點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，以及向量夾角的余弦公式的坐標(biāo)運(yùn)算．