如圖,ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,則棱長為3,底面邊長為2,E是棱BC的中點.
(Ⅰ)求證:BD1平面C1DE;
(Ⅱ)求二面角C1-DE-C的大小;
(Ⅲ)在側(cè)棱BB1上是否存在點P,使得CP⊥平面C1DE?證明你的結(jié)論.
精英家教網(wǎng)

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(I)證明:連接CD1,與C1D相交于O,連接EO.
∵CDD1C1是矩形,
∴O是CD1的中點,
又E是BC的中點,
∴EOBD1.(2分)
又BD1?平面C1DE,EO?平面C1DE,
∴BD1平面C1DE.(4分)

(II)過點C作CH⊥DE于H,連接C1H.
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面ABCD,
∴C1H⊥DE,
∠C1HC是二面角C1-DE-C的平面角.(7分)
根據(jù)平面幾何知識,易得H(0.8,1.6,0)
.∴
HC
=(-0.8,0.4,0),
HC1
=(-0.8,0.4,3)

cosC1HC=COS<
HC
,
HC1
>=
HC
HC1
|
HC
|•|
HC1
|
=
2
7
(9分)
C1HC=arccos
2
7

∴二面角C1-DE-C的大小為ArCCOs
2
7
.(10分)

(III)在側(cè)棱BB1上不存在點P,使得CP⊥平面C1DE(11分)
證明如下:
假設(shè)CP⊥平面C1DE,則必有CP⊥DE.
設(shè)P(2,2,a),其中0≤a≤3,
CP
=(2,0,a),
DE
=(1,2,0)
,
CP
DE
=2≠0
,這顯然與CP⊥DE矛盾.
∴假設(shè)CP⊥平面C1DE不成立,
即在側(cè)棱BB1上不存在點P,使得CP⊥平面C1DE.(14分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體,E、F分別是棱AB、BC上的動點,且AE=BF.
(1)求證:A1F⊥C1E;
(2)當(dāng)A1、E、F、C1共面時,求:
①D1到直線C1E的距離;
②面A1DE與面C1DF所成二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論中正確的是
①②④
①②④
.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上)
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥平面CB1D1;
③AC1與底面ABCD所成角的正切值是
2
;
④二面角C-B1D1-C1的正切值是
2
;
⑤過點A1與異面直線AD與CB1成70°角的直線有2條.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結(jié)論中正確的結(jié)論是
①②
①②
.(把你認(rèn)為正確的結(jié)論都填上)
①BD∥平面CB1D1
②AC1⊥平面CB1D1
③過點A1與異面直線AD和CB1成90°角的直線有2條.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,長方體ABCD—A1B1C1D1中,點O是B1D1的中點,直線A1C交平面AB1D1于點M,對下列結(jié)論,錯誤的是(    )

A.A、M、O三點共線                      B.A、M、O、A1四點共面

C.A、O、C、M四點共面                 D.B、B1、O、M四點共面

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年廣東省江門市高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

如圖,ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體,E、F分別是棱AB、BC上的動點,且AE=BF.
(1)求證:A1F⊥C1E;
(2)當(dāng)A1、E、F、C1共面時,求:
①D1到直線C1E的距離;
②面A1DE與面C1DF所成二面角的余弦值.

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