Question

如圖，已知正方形ABCD和梯形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=，CE=2，CE∥AF，AC⊥CE，
（I）求證：CM∥平面BDF；
（II）求異面直線CM與FD所成角的余弦值的大小；
（III）求二面角A-DF-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I） 可知CD、CB、CE兩兩垂直．建立如圖空間直角坐標(biāo)系C-xyz．利用與平行證出CM∥OF，則可以證出CM∥平面BDF
（II） 利用的夾角求異面直線CM與FD所成角
（III）先求出平面ADF與平面BDF的一個法向量，利用兩法向量的夾角求出二面角A-DF-B的大�。�
解答：解：（I）證明：因為面ABCD⊥面ACEF，面ABCD∩面ACEF=AC，且AC⊥CE，∴CE⊥面ABCD．
所以CD、CB、CE兩兩垂直．可建立如圖空間直角坐標(biāo)系C-xyz．
則（2，0，0），A（2，2，0），B（0，2，0），F(xiàn)（2，2，），O（1，1，0）…（2分）
由，可求得M（）…（3分）
=（），）．
所以∥，
∴CM∥OF…（5分）
（II）因為=（），），
所以cos＜＞=
異面直線CM與FD所成角的余弦值的大小為 …（8分）
（III）因為CD⊥平面ADF，所以平面ADF的法向量=（2，0，0）．
設(shè)平面BDF的法向量為=（x，y，1）…（9分）
由．
所以法向量=（-，1）…（10分）
所以
所以＜=，…（11分）
由圖可知二面角A-DF-B為銳角，
所以二面角A-DF-B大小為．…（12分）
點評：本題考查直線和平面平行的判定，異面直線夾角，二面角的計算，利用了空間向量的方法．要注意相關(guān)點和向量坐標(biāo)的準(zhǔn)確性，及轉(zhuǎn)化時角的相等或互余關(guān)系．