Question

拋物線C的方程為y=ax²(a＜0),過拋物線C上一點(diǎn)P(x₀,y₀)(x₀≠0)作斜率為k₁、k₂的兩條直線分別交拋物線C于A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)兩點(diǎn)(P、A、B三點(diǎn)互不相同),且滿足k₂+λk₁=0(λ≠0且λ≠-1).

(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;

(2)設(shè)直線AB上一點(diǎn)M,滿足,證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上;

(3)當(dāng)λ=1時(shí),若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-1),求∠PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y₁的取值范圍.

Answer 1

(1)解:拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程x²=y,

∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),準(zhǔn)線方程為y=-.

(2)證明:設(shè)PA:y-y₀=k₁(x-x₀),PB:y-y₀=k₂(x-x₀),點(diǎn)P(x₀,y₀)和點(diǎn)A(x₁,y₁)的坐標(biāo)是方程組的解,消元后化為

ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0,于是x₁+x₀=,x₁=-x₀,               ①

同理,x₂=-x₀,                                                              ②

由已知k₂=-λk₁,則x₂=-k₁-x₀.

設(shè)M(x_m,y_m),由,則

x_m=,把①②代入得x_m=-x₀,

即x_M+x₀=0,

∴線段PM中點(diǎn)在y軸上.

(3)解:∵P(1,-1)在拋物線y=ax²上,

∴a=-1,得拋物線y=-x².

由(2)的①式得x₁=-k₁-1.代入拋物線方程y=-x²得y₁=-(k₁+1)²,

將λ=1代入(2)的②式得x₂=k₁-1.

同理得y₂=-(k₁-1)²,

∴A(-k₁-1,-(k₁+1)²),B(k₁-1,-(k₁-1)²).

∴=(2k₁,4k₁),=(k₁+2,k₁²+2k₁).

∴·=2k₁(k₁+2)+4k₁(k₁²+2k₁)=2k₁(k₁+2)(2k₁+1).

∵∠PAB為鈍角,

∴·＜0,

即k₁(k₁+2)(2k₁+1)＜0.

∴k₁＜-2或-＜k₁＜0.

又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y₁=-(k₁+1)²,

當(dāng)k₁＜-2時(shí),y₁＜-1,

當(dāng)-＜k₁＜0時(shí),-1＜y₁＜-.

總之,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,-).