Question

設有兩個命題，p：關于x的不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函數(shù)y=lg（x²-x+a）的定義域為R，如果p∨q為真命題，為p∧q假命題，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得x的不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}時，實數(shù)a的范圍；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，及二次不等式恒成立問題，可得函數(shù)y=lg（x²-x+a）的定義域為R時，實數(shù)a的范圍；再由復合命題真假判斷的真值表，可得命題p、q一真一假，分類討論后，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：p為真命題時，不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}；
則0＜a＜1，
q為真命題時，函數(shù)y=lg（x²-x+a）的定義域為R，
x²-x+a＞0恒成立
則△=1-4a＜0
解得a＞

1

4

（10分）
因為p∨q為真命題，p∧q為假命題，所以命題p、q一真一假
當p真q假時，0＜a≤

1

4

當p假q真時，a≥1
綜上實數(shù)a的范圍為(0，

1

4

]∪[1，+∞)

點評：本題以復合命題的真假判斷為載體考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出命題p、q為真時，實數(shù)a的范圍，是解答的關鍵．