設(shè)f(x)=x2+ax+b,求證:||f(1)|,|f(2)||f(3)|中至少有一個(gè)不小于
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分析:因“至少有一個(gè)不小于”的反面情況較簡(jiǎn)單,比較方便證明,故從反面進(jìn)行證明,用反證法.先根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式,分別將x=1,2,3代入求得f(1),f(3),f(2),進(jìn)而求得f(1)+f(3)-2f(2).再假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于
1
2
,推出-2<f(1)+f(3)-2f(2)<2,利用此式與上面求得的式子矛盾,從而得出證明.
解答:證明:∵f(x)=x2+ax+b
∴f(1)=1+a+bf(2)=4+2a+bf(3)=9+3a+b,
所以f(1)+f(3)-2f(2)=(1+a+b)+(9+3a+b)-2(4+2a+b)=2.
假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于
1
2

|f(1)|<
1
2
,|f(2)|<
1
2
,|f(3)|<
1
2
,
即有 -
1
2
<f(1)<
1
2
-
1
2
<f(2)<
1
2
-
1
2
<f(3)<
1
2

∴-2<f(1)+f(3)-2f(2)<2
由正面可知f(1)+f(3)-2f(2)=2,
與-2<f(1)+f(3)-2f(2)<2矛盾,
∴假設(shè)不成立,即原命題成立.
點(diǎn)評(píng):反證法是一種從反面的角度思考問(wèn)題的證明方法,體現(xiàn)的原則是正難則反.反證法的基本思想:否定結(jié)論就會(huì)導(dǎo)致矛盾,證題模式可以簡(jiǎn)要的概括為“否定→推理→否定”.實(shí)施的具體步驟是:
第一步,反設(shè):作出與求證結(jié)論相反的假設(shè);
第二步,歸謬:將反設(shè)作為條件,并由此通過(guò)一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾;
第三步,結(jié)論:說(shuō)明反設(shè)不成立,從而肯定原命題成立.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x2+a|lnx-1|.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;
(2)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x2+a|lnx-1|
(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在x=1處的切線方程;
(2)當(dāng)a=3時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

8、設(shè)f(x)和g(x)是定義在同一區(qū)間[a,b]上的兩個(gè)函數(shù),若對(duì)任意的x∈[a,b],都有|f(x)-g(x)|≤1,則稱(chēng)f(x)和g(x)在[a,b]上是“密切函數(shù)”,[a,b]稱(chēng)為“密切區(qū)間”,設(shè)f(x)=x2-3x+4與g(x)=2x-3在[a,b]上是“密切函數(shù)”,則它的“密切區(qū)間”可以是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)f(x)=x2+a.記f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=1,2,3,…,集合M={a∈R|對(duì)所有正整數(shù)n,
.
fn(0) 
  
.
≤2}.
證明:M=[-2,
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].

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2013年全國(guó)高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷(四)(解析版) 題型:解答題

設(shè)f(x)=x2+a.記f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x)),n=1,2,3,…,集合M={a∈R|對(duì)所有正整數(shù)n,≤2}.
證明:M=[-2,].

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