以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①設(shè)A、B為兩個定點(diǎn),k為非零常數(shù),|
PA
|-|
PB
|=k
,則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線;
②過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動點(diǎn)弦AB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)
,則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓;
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
④雙曲線
x2
35
-y2=1
和橢圓
x2
25
+
y2
9
=1
有相同的焦點(diǎn).
其中真命題的序號為
(寫出所有真命題的序號)
分析:根據(jù)雙曲線的定義是到兩定點(diǎn)的距離之差的絕對值為常數(shù)(小于兩定點(diǎn)之間距離)的點(diǎn)的軌跡.焦點(diǎn)在x軸的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別是
x2
a2
+
y2
b2
=1,
x2
a2
-
y2
b2
=1,半焦距C,分別是c2=a2+b2,c2=a2-b2,離心率e 范圍分別是0<e<1,e>1.
解答:解:根據(jù)雙曲線的定義,有絕對值,且k的范圍是k<|AB|,∴①×;
OP
=
1
2
OA
+
OB
),∴P為弦AB的中點(diǎn),不妨在單位圓x2+y2=1中,定點(diǎn)A(1,0),動點(diǎn)B(x1,y1),設(shè)P(x,y),用代入法求得P的軌跡方程是(x-
1
2
)
2
+y2=
1
4
,
∴點(diǎn)P的軌跡為圓,∴②×;
∵2x2-5x+2=0的兩根是2,
1
2
,橢圓的離心率范圍是(0,1),雙曲線的離心率范圍是(1,∞)∴③√.
∵④中雙曲線的焦點(diǎn)是(±6,0),橢圓的焦點(diǎn)(±4,0),∴④×.
故答案是③
點(diǎn)評:準(zhǔn)確掌握圓錐曲線定義中的條件,性質(zhì).
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中
①設(shè)A、B為兩個定點(diǎn),k為非零常數(shù),|
PA
|-|
PB
|=k,則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線;
②設(shè)定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動點(diǎn)弦AB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若
OP
=
1
2
OA
+
OB
),則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓;
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
④雙曲線
x2
25
-
y2
9
=1與橢圓
x2
35
+y2=1有相同的焦點(diǎn).
其中真命題的序號為
 
(寫出所有真命題的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①設(shè)A、B為兩個定點(diǎn),k為非零常數(shù),|
PA
|-|
PB
|=k
,則動點(diǎn)P的軌跡為雙曲線;
②以定點(diǎn)A為焦點(diǎn),定直線l為準(zhǔn)線的橢圓(A不在l上)有無數(shù)多個;
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
④過原點(diǎn)O任做一直線,若與拋物線y2=3x,y2=7x分別交于A、B兩點(diǎn),則
OA
OB
為定值.
其中真命題的序號為
 
(寫出所有真命題的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①設(shè)A、B為兩個定點(diǎn),k為正常數(shù),|
PA
|+|
PB
|=k
,則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓;
②雙曲線
x2
25
-
y2
9
=1
與橢圓
x2
35
+y2=1
有相同的焦點(diǎn);
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率,則0<a<3;
④和定點(diǎn)A(5,0)及定直線l:x=
25
4
的距離之比為
5
4
的點(diǎn)的軌跡方程為
x2
16
-
y2
9
=1

其中真命題的序號為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中:
①雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1
與橢圓
x2
49
+
y2
24
=1
有相同的焦點(diǎn);
②在平面內(nèi),設(shè)A、B為兩個定點(diǎn),P為動點(diǎn),且|PA|+|PB|=k,其中常數(shù)k為正實(shí)數(shù),則動點(diǎn)P的軌跡為橢圓;
③方程2x2-3x+1=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
④過雙曲線x2-
y2
2
=1
的右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn),若|AB|=4,則這樣的直線l有且僅有3條.
其中真命題的序號為
①④
①④
(寫出所有真命題的序號).

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