Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）設(shè)斜率為的直線與函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)（）,證明：．

Answer 1

【答案】（I）；（II）當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；（III）證明見解析.

【解析】

試題分析：（I）當(dāng)時(shí)，，根據(jù)，，求得切線方程為；（II）定義域為，求導(dǎo)得，由得，，，對分成類，結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行分類討論的單調(diào)區(qū)間；（III）先用分析法分析，要證，即證，因，即證，令（），即證（），令利用導(dǎo)數(shù)可證明上述不等式成立.

試題解析：

（Ⅰ）依題意得，則，，

則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（Ⅱ）∵函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且

，

當(dāng)時(shí)，由得，，，

①當(dāng)時(shí)，，由得，，或；由得，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減……6分

③ 當(dāng)時(shí)，，由得，，或；由得，，

所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

③當(dāng)時(shí)，，在上，，

所以在上單調(diào)遞增.

綜上,當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.

（Ⅲ）依題意得，

要證，即證，

因，即證，

令（），即證（），

令（）則，

∴在（1，+）上單調(diào)遞增，

∴=0，即（）①

同理可證：②

綜①②得（），即