解:(1)由題意可得:圓C的半徑為
,…(2分)
所以圓C的方程為x
2+y
2=4…(3分)
(2)圓心到直線l的距離為
,…(4分)
所以P到直線l:x+y-4=0的距離的最小值為:
…(6分)
(3)設直線l的方程為:y=kx+b,
因為l與x,y軸的正半軸分別相交于A,B兩點,所以k<0,b>0,且
,
又因為l與圓C相切,
所以C點到直線l的距離等于圓的半徑2,即:
,①,
因為
②…(8分)
所以將①代入②得
,
當且僅當k=-1時取等號,
所以當k=-1時,△ABC的面積最小,
此時
,
所以直線l的方程為:
…(10分)
分析:(1)根據(jù)圓的定義求出圓的半徑,進而結合題意寫出圓的方程.
(2)由圓的性質可得:P到直線l:x+y-4=0的距離的最小值是圓心到直線l的距離減去半徑,結合點到直線的距離公式可得答案.
(3)設直線l的方程為:y=kx+b,根據(jù)題意可得:k<0,b>0,又因為l與圓C相切,得到b關于k的一個關系式,再用b與k表示出三角形的面積可得:
,然后利用基本不等式求出面積的最大值與k、b的值即可.
點評:解決此類問題的關鍵是熟練掌握圓的標準方程與圓的一個性質,以及結合點到直線的距離判斷直線與圓的位置關系.