【題目】已知函數(shù)f(x)= ,其中m,n,k∈R.
(1)若m=n=k=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若n=k=1,且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1總成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若m>0,n=0,k=1,若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2 , 求證: <f(x1)+f(x2)< .
【答案】
(1)解:m=n=k=1,f′(x)= ,
∴0<x<1,f′(x)<0,x<0或x>1時(shí),f′(x)>0,
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1),單調(diào)增區(qū)間是(﹣∞,0),(1,+∞);
(2)解:若n=k=1,且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1總成立,則m≥0.
m=0,f(x)= ,f′(x)= ≥0,∴f(x)min=f(0)=1;
m>0,f′(x)= ,
0<m≤ ,f(x)min=f(0)=1;
m≥ ,f(x)在[0, ]上為減函數(shù),在[ ,+∞)上為增函數(shù),f(x)min<f(0)=1不成立.
綜上所述,0≤m≤ ;
(3)證明:f(x)= ,f′(x)= .
∵f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,∴4m2﹣4m>0,∴m>1.
令f′(x)=0,x1+x2=2,x1x2= ,
注意到 (i=1,2),
∴f(x1)= ,f(x2)= ,
∴f(x1)+f(x2)= = ( )
> = = ;
∵ ( )< < ,
∴ <f(x1)+f(x2)< .
【解析】(1)若m=n=k=1,求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若n=k=1,且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)≥1總成立,先確定m≥0,在分類討論,確定函數(shù)的最小值,即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(3)令f′(x)=0,x1+x2=2,x1x2= ,再結(jié)合基本不等式,即可證明結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】右圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖,其中ABCD為
正方形, E、F分別為PA、PD的中點(diǎn),在此幾何體中,
給出下面四個(gè)結(jié)論:
①直線BE與直線CF異面;②直線BE與直線AF異面;
③直線EF//平面PBC; ④平面BCE⊥平面PAD.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三角形ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直,AB⊥BC,AF⊥AC,AF 2CE,G是線段BF上一點(diǎn),AB=AF=BC.
(Ⅰ)若EG∥平面ABC,求 的值;
(Ⅱ)求二面角A﹣BF﹣E的大小的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,點(diǎn)O為數(shù)軸的原點(diǎn),A,B,M為數(shù)軸上三點(diǎn),C為線段OM上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)x表示點(diǎn)C與原點(diǎn)的距離,y表示點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離的4倍與點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離的6倍之和.
(1)將y表示為x的函數(shù);
(2)要使y的值不超過(guò)70,實(shí)數(shù)x應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年春晚分會(huì)場(chǎng)之一是涼山西昌,電視播出后,通過(guò)網(wǎng)絡(luò)對(duì)涼山分會(huì)場(chǎng)的表演進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查分三類人群進(jìn)行,參加了網(wǎng)絡(luò)調(diào)查的觀眾們的看法情況如下:
觀眾對(duì)涼山分會(huì)場(chǎng)表演的看法 | 非常好 | 好 |
中國(guó)人且非四川(人數(shù)比例) | ||
四川人(非涼山)(人數(shù)比例) | ||
涼山人(人數(shù)比例) |
(1)從這三類人群中各選一個(gè)人,求恰好有2人認(rèn)為“非常好”的概率(用比例作為相應(yīng)概率);
(2)若在四川人(非涼山)群中按所持態(tài)度分層抽樣,抽取9人,在這9人中任意選取3人,認(rèn)為“非常好”的人數(shù)記為ξ,求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線和橢圓有公共的焦點(diǎn),且離心率為.
(Ⅰ)求雙曲線的方程.
(Ⅱ)經(jīng)過(guò)點(diǎn)作直線交雙曲線于, 兩點(diǎn),且為的中點(diǎn),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種實(shí)銷產(chǎn)品.已知每件甲產(chǎn)品的利潤(rùn)為0.4萬(wàn)元,每件乙產(chǎn)品的利潤(rùn)為0.3萬(wàn)元,兩種產(chǎn)品都需要在A,B兩種設(shè)備上加工,且加工一件甲、乙產(chǎn)品在A,B設(shè)備上所需工時(shí)(單位:h)分別如表所示.
甲產(chǎn)品所需工時(shí) | 乙產(chǎn)品所需工時(shí) | |
A設(shè)備 | 2 | 3 |
B設(shè)備 | 4 | 1 |
若A設(shè)備每月的工時(shí)限額為400h,B設(shè)備每月的工時(shí)限額為300h,則該廠每月生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品可獲得的最大利潤(rùn)為( )
A.40萬(wàn)元
B.45萬(wàn)元
C.50萬(wàn)元
D.55萬(wàn)元
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線E的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),設(shè)E的右焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)第一象限的漸進(jìn)線為l.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求直線l的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)過(guò)F與l垂直的直線與y軸相交于點(diǎn)A,P是l上異于原點(diǎn)O的點(diǎn),當(dāng)A,O,F(xiàn),P四點(diǎn)在同一圓上時(shí),求這個(gè)圓的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)P的極坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=nan﹣2n(n﹣1),首項(xiàng)=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Mn,求證: Mn .
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