【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P在橢圓O上運(yùn)動(dòng),若PAB面積的最大值為,橢圓O的離心率為

(1)求橢圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)過(guò)B點(diǎn)作圓E的兩條切線,分別與橢圓O交于兩點(diǎn)C,D(異于點(diǎn)B),當(dāng)r變化時(shí),直線CD是否恒過(guò)某定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)坐標(biāo),若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】12)直線恒過(guò)定點(diǎn).

【解析】

1)根據(jù)已知條件列方程組,解方程組可得.

2)設(shè)過(guò)B的切線方程,由d=r,利用韋達(dá)定理得兩切線PC、PD的斜率、關(guān)系,把直線、代入橢圓方程求出C、D點(diǎn)坐標(biāo),利用兩點(diǎn)式建立CD方程,化簡(jiǎn)方程可得.

1)由題可知當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí),最大,此時(shí)

所以,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:.

2)設(shè)過(guò)點(diǎn)與圓相切的直線方程為:,即:

因?yàn)橹本與圓相切,所以,

即得.

設(shè)兩切線的斜率分別為,則,

設(shè),,

,

,即,∴

同理:,

,

所以直線的方程為:.

整理得:,

所以直線恒過(guò)定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn)

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)點(diǎn),點(diǎn)軸上,過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓交于兩點(diǎn).

①若直線的斜率為,且,求點(diǎn)的坐標(biāo);

②設(shè)直線,的斜率分別為,,是否存在定點(diǎn),使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)與點(diǎn).

(1)求橢圓的方程;

(2)設(shè)直線過(guò)定點(diǎn),且斜率為,若橢圓上存在,兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,為坐標(biāo)原點(diǎn),求的取值范圍及面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù),給出下列命題,其中正確命題的個(gè)數(shù)為

①當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增;

②當(dāng)時(shí),存在不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù),使;

③當(dāng)時(shí),3個(gè)零點(diǎn).

A. 3B. 2C. 1D. 0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,設(shè)橢圓1的左右焦點(diǎn)分別為F1F2,過(guò)焦點(diǎn)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn),若ABF2的內(nèi)切圓的面積為4,設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Ax1,y1),Bx2,y2),則|y1y2|值為_____

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)

(1)若函數(shù)與函數(shù)在點(diǎn)處有共同的切線,求的值;

(2)證明:;

(3)若不等式對(duì)所有,都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】己知p:函數(shù)fx)在R上是增函數(shù),fm2)<fm+2)成立;q:方程1mR)表示雙曲線.

1)若p為真命題,求m的取值范圍;

2)若pq為真,pq為假,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在直三棱柱中,,,,分別是,的中點(diǎn).

1)求證:平面平面

2)求證:平面;

3)求三棱錐的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知正方形的邊長(zhǎng)為,將沿對(duì)角線折起,使平面平面,得到如圖所示的三棱錐,若邊的中點(diǎn),分別為上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),且,設(shè),則三棱錐的體積取得最大值時(shí),三棱錐的內(nèi)切球的半徑為_______.

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同步練習(xí)冊(cè)答案