【題目】已知函數(shù)的最小值為．

⑴設，求證： 在上單調(diào)遞增；

⑵求證： ；

⑶求函數(shù)的最小值．

【答案】⑴見解析⑵見解析⑶見解析

【解析】試題分析：（1）先求導求出，再求導，利用導數(shù)的符號變換得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由⑴可知在上單調(diào)遞增，再利用零點存在定理及函數(shù)的單調(diào)性進行求解；（3）分離參數(shù)，合理構造，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值.

試題解析：⑴

∵

∴在上單調(diào)遞增

⑵由⑴可知在上單調(diào)遞增

∵

∴存在唯一的零點，設為，則 且

當時， ；當時，

從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

所以的最小值

∵ ∴ ∴

∴（當且僅當時取等號）

∵ ∴

（第二問也可證明，從而得到）

⑶

同⑴方法可證得在上單調(diào)遞增

∵

∴

∴存在唯一的零點，設為，則 且

所以的最小值為

∵ ∴

∴，即

由⑵可知

∴=

∵在上單調(diào)遞增

∴

所以的最小值為

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.

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