【題目】已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足a1=1,an+1=2 +1,n∈N* .
(1)求a2的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)是否存在正整數(shù)k,使ak , S2k﹣1 , a4k成等比數(shù)列?若存在,求k的值,若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)解:因?yàn)閍1=1,an+1=2 +1,
所以a2=2 +1=2+1=3
(2)解:由an+1=2 +1得, ,
所以當(dāng)n≥2時(shí), ,
兩個(gè)式子相減得,4an=(an+1+an﹣2)(an+1﹣an),
化簡得,(an+1﹣an﹣2)(an+1+an)=0,
因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),
所以an+1﹣an﹣2=0,即an+1﹣an=2,
所以數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列,
則an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1
(3)解:假設(shè)存在正整數(shù)k使ak,S2k﹣1,a4k成等比數(shù)列,
則 ,
所以 =(2k﹣1)(8k﹣1),
(2k﹣1)3=8k﹣1,化簡得4k2﹣6k﹣1=0,
解得 , ,
因?yàn)閗是正整數(shù),所以不存在正整數(shù)k滿足條件
【解析】(1)將n=1代入式子即可求解;(2)由an+1=2 +1得 ,令n取n﹣1代入上式可得 ,兩個(gè)式子相減后進(jìn)行化簡,利用等差數(shù)列的定義判斷,再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出an;(3)先假設(shè)存在正整數(shù)k滿足條件,利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程,化簡后求出k的值,再由k是正整數(shù)進(jìn)行判斷.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí),掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷,以及對數(shù)列的通項(xiàng)公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與、軸交于、兩點(diǎn).
(Ⅰ)若點(diǎn)、分別是雙曲線的虛軸、實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn),試在平面上找兩點(diǎn)、,使得雙曲線上任意一點(diǎn)到、這兩點(diǎn)距離差的絕對值是定值.
(Ⅱ)若以原點(diǎn)為圓心的圓截直線所得弦長是,求圓的方程以及這條弦的中點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且滿足Sn=2an﹣2.若數(shù)列{bn}滿足bn=10﹣log2an , 則是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和取最大值時(shí)n的值為( )
A.8
B.10
C.8或9
D.9或10
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在四邊形ABCD中,AB⊥DA,CE= ,∠ADC= ;E為AD邊上一點(diǎn),DE=1,EA=2,∠BEC=
(1)求sin∠CED的值;
(2)求BE的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若在定義域內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某食品店為了了解氣溫對銷售量的影響,隨機(jī)記錄了該店1月份中5天的日銷售量(單位:千克)與該地當(dāng)日最低氣溫(單位: )的數(shù)據(jù),如下表:
x | 2 | 5 | 8 | 9 | 11 |
y | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 |
(1)求出與的回歸方程;
(2)判斷與之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);若該地1月份某天的最低氣溫為,請用所求回歸方程預(yù)測該店當(dāng)日的銷售量;
(3)設(shè)該地1月份的日最低氣溫~,其中近似為樣本平均數(shù), 近似為樣本方差,求.
附:①回歸方程中, , .
②, ,若~,則, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓和定點(diǎn),由圓外一點(diǎn)向圓引切線,切點(diǎn)為,且滿足.
(1)求實(shí)數(shù),滿足的等量關(guān)系;
(2)求線段長的最小值;
(3)若以為圓心所作的圓與圓有公共點(diǎn),試求半徑取最小值時(shí)圓的方程.
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