【題目】如圖，已知橢圓 的長(zhǎng)軸，長(zhǎng)為4，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為（）的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線(xiàn)，直線(xiàn)，分別與相交于、兩點(diǎn)，設(shè)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：.

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4可得a，設(shè)出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用斜率之積為，可得，即可得到b2，可得橢圓方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)BC的方程為：y＝k（x﹣1）與橢圓方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，直線(xiàn)的方程為：y（x+2）與x=4聯(lián)立，可得點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，可得線(xiàn)段MN的中點(diǎn)E．利用根與系數(shù)的關(guān)系及其斜率計(jì)算公式可得，只要證明1即可．

（1）設(shè)，，因點(diǎn)在橢圓上，所以，

故.又，，

所以，即，又，所以

故橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為：，，，

聯(lián)立方程組，消去并整理得，

，則，.

直線(xiàn)的方程為，令得，

同理，；

所以，

代入化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)，又，

所以，所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

（Ⅱ）設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)也是曲線(xiàn)的切線(xiàn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，且與雙曲線(xiàn)有相同的焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)，若直線(xiàn)斜率為，求面積的最大值及此時(shí)直線(xiàn)的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）已知且，若函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知橢圓 的長(zhǎng)軸，長(zhǎng)為4，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為（）的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，直線(xiàn)，的斜率之積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線(xiàn)，直線(xiàn)，分別與相交于、兩點(diǎn)，設(shè)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為( )

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

（1）求的值；

（2）若函數(shù)在內(nèi)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，若不等式在上恒成立，求滿(mǎn)足條件的最小整數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若數(shù)列的每一項(xiàng)都不等于零，且對(duì)于任意的，都有（為常數(shù)），則稱(chēng)數(shù)列為“類(lèi)等比數(shù)列”；已知數(shù)列滿(mǎn)足：，對(duì)于任意的，都有；

（1）求證：數(shù)列是“類(lèi)等比數(shù)列”；

（2）若是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若，求數(shù)列的前項(xiàng)之積取最大值時(shí)的值；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某市《城市總體規(guī)劃（年）》提出到年實(shí)現(xiàn)“分鐘社區(qū)生活圈”全覆蓋的目標(biāo)，從教育與文化、醫(yī)療與養(yǎng)老、交通與購(gòu)物、休閑與健身個(gè)方面構(gòu)建“分鐘社區(qū)生活圈”指標(biāo)體系，并依據(jù)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)高低將小區(qū)劃分為：優(yōu)質(zhì)小區(qū)（指數(shù)為）、良好小區(qū)（指數(shù)為）、中等小區(qū)（指數(shù)為）以及待改進(jìn)小區(qū)（指數(shù)為）個(gè)等級(jí).下面是三個(gè)小區(qū)個(gè)方面指標(biāo)的調(diào)查數(shù)據(jù)：

注：每個(gè)小區(qū)“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)，其中、、、為該小區(qū)四個(gè)方面的權(quán)重，、、、為該小區(qū)四個(gè)方面的指標(biāo)值（小區(qū)每一個(gè)方面的指標(biāo)值為之間的一個(gè)數(shù)值）.

現(xiàn)有個(gè)小區(qū)的“分鐘社區(qū)生活圈”指數(shù)數(shù)據(jù)，整理得到如下頻數(shù)分布表：

分組

頻數(shù)

（Ⅰ）分別判斷、、三個(gè)小區(qū)是否是優(yōu)質(zhì)小區(qū)，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）對(duì)這個(gè)小區(qū)按照優(yōu)質(zhì)小區(qū)、良好小區(qū)、中等小區(qū)和待改進(jìn)小區(qū)進(jìn)行分層抽樣，抽取個(gè)小區(qū)進(jìn)行調(diào)查，若在抽取的個(gè)小區(qū)中再隨機(jī)地選取個(gè)小區(qū)做深入調(diào)查，記這個(gè)小區(qū)中為優(yōu)質(zhì)小區(qū)的個(gè)數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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