分析:法一:可以先把向量
,
,
放入平面直角坐標(biāo)系,則
=(x
1,0),
=(
,y
1),再用
,的坐標(biāo)表示
的坐標(biāo),利用
(-)•
(-)=0,可轉(zhuǎn)化為含y
1的式子,再看y
1等于多少時(shí),m-n有最小值即可.
法二:我們分別令
||=1,
=
,
=
,根據(jù)由已知中,向量
,
,
滿足
||=1,
|-|=||,
(-)•
(-)=0.可判斷出A,B,C三點(diǎn)的位置關(guān)系,及m-n的幾何意義,進(jìn)而得到答案.
解答:解:法一:把
放入平面直角坐標(biāo)系,使
起點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,方向與x軸正方向一致,則
=(1,0)
設(shè)
=(x
1,y
1),∵
|-|=||,∴x1=
,∴
=(
,y
1)
設(shè)
=(x,y),則
-=(1-x,-y),
-=(
-x,y
1-y)
∵(
-)•(
-)=0.∴(1-x)(
-x)-y(y
1-y)=0
化簡(jiǎn)得,x
2+y
2-
x-y
1y+
=0,也即
(x-)2+(y-)2=點(diǎn)(x,y)可表示圓心在(
,
),半徑為
的圓上的點(diǎn),
||=
,∴
||最大m=
+,最小值n=
-.
∴m-n=
+-(
-)=
當(dāng)y
12=0時(shí),m-n有最小值為
,
法二:解:∵
||=1,
∴令
=
則A必在單位圓上,
又∵又向量
滿足
|-|=||,
∴令
=
則點(diǎn)B必在線段OA的中垂線上,
=
.
又∵
(-)•(-)=0故C點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓M上,任取一點(diǎn)C,記
=
.
故m-n就是圓M的直徑|AB|
顯然,當(dāng)點(diǎn)B在線段OA的中點(diǎn)時(shí),(m-n)取最小值
即(m-n)
min=
故選B.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩向量的和與差的模的最值,及向量加減法的幾何意義,其中根據(jù)已知條件,判斷出A,B,C三點(diǎn)的位置關(guān)系,及m-n的幾何意義,是解答本題的關(guān)鍵.