Question

【題目】已知函數(shù)， 為其導(dǎo)函數(shù).

(1) 設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2) 若, 設(shè)， 為函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，且滿足，設(shè)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 證明： .

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍， 得增區(qū)間， 得減區(qū)間即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明令 ，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性證明即可.

試題解析：(1) ,

①時(shí)， 定義域?yàn)?/span>

上，故在上單調(diào)遞減；

上，故在上單調(diào)遞增.

②時(shí)， 定義域?yàn)?/span>

上，故在上單調(diào)遞增；

上，故在上單調(diào)遞減.

(2)

，故在定義域上單調(diào)遞增.

只需證： ，即證 (*)

注意到 不妨設(shè).

令，

則 ，從而在上單減，

故， 即得(*)式.

法二：(2) 故在定義域上單調(diào)遞增.

注意到且

設(shè)，則單調(diào)遞增且圖象關(guān)于中心對(duì)稱.

構(gòu)造函數(shù)，

，

當(dāng)時(shí), , 單增；當(dāng)時(shí), , 單減,

故，且等號(hào)僅在處取到. 所以與圖象關(guān)系如下：

取，則顯然有, 從而，

另外由三次函數(shù)的中心對(duì)稱性可知，則有 .