【題目】如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,平面,在棱上.
(I)當(dāng)時(shí),求證平面
(II)當(dāng)二面角的大小為時(shí),求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ) .
【解析】
(Ⅰ)在平行四邊形中,
由,,,
易知,
又平面,所以平面,∴,
在直角三角形中,易得,
在直角三角形中,,,又,∴,
可得
.
∴,
又∵,∴平面.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,,,
可知為二面角的平面角,
,此時(shí)為的中點(diǎn).
過作,連結(jié),則平面平面,
作,則平面,連結(jié),
可得為直線與平面所成的角.
因?yàn)?/span>,,
所以.
在中,,
直線與平面所成角的正弦值為.
解法二:依題意易知,平面ACD.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AC、AD、SA分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則易得,
(Ⅰ)由有,
易得,從而平面.
(Ⅱ)由平面,二面角的平面角.
又,則為的中點(diǎn),
即,
設(shè)平面的法向量為
則,令,得,
從而,
直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱中,,點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:∥平面
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點(diǎn),使得直線與平面所成的角為300?如果存在,求出線段的長;如果不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程;
(2)若是曲線上的動點(diǎn),為線段的中點(diǎn),求點(diǎn)到直線的距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知復(fù)數(shù)集合 ,其中為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)所形成圖形的面積為________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型,是目前大多數(shù)工廠、企業(yè)等最常采用的訂貨方式,即某種物資在單位時(shí)間的需求量為某常數(shù),經(jīng)過某段時(shí)間后,存儲量消耗下降到零,此時(shí)開始訂貨并隨即到貨,然后開始下一個存儲周期,該模型適用于整批間隔進(jìn)貨、不允許缺貨的存儲問題,具體如下:年存儲成本費(fèi)(元)關(guān)于每次訂貨(單位)的函數(shù)關(guān)系,其中為年需求量,為每單位物資的年存儲費(fèi),為每次訂貨費(fèi). 某化工廠需用甲醇作為原料,年需求量為6000噸,每噸存儲費(fèi)為120元/年,每次訂貨費(fèi)為2500元.
(1)若該化工廠每次訂購300噸甲醇,求年存儲成本費(fèi);
(2)每次需訂購多少噸甲醇,可使該化工廠年存儲成本費(fèi)最少?最少費(fèi)用為多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知表1和表2是某年部分日期的天安門廣場升旗時(shí)刻表.
表1:某年部分日期的天安門廣場升旗時(shí)刻表
日期 | 升旗時(shí)刻 | 日期 | 升旗時(shí)刻 | 日期 | 升旗時(shí)刻 | 日期 | 升旗時(shí)刻 |
1月1日 | 7:36 | 4月9日 | 5:46 | 7月9日 | 4:53 | 10月8日 | 6:17 |
1月21日 | 7:31 | 4月28日 | 5:19 | 7月27日 | 5:07 | 10月26日 | 6:36 |
2月10日 | 7:14 | 5月16日 | 4:59 | 8月14日 | 5:24 | 11月13日 | 6:56 |
3月2日 | 6:47 | 6月3日 | 4:47 | 9月2日 | 5:42 | 12月1日 | 7:16 |
3月22日 | 6:15 | 6月22日 | 4:46 | 9月20日 | 5:59 | 12月20日 | 7:31 |
表2:某年2月部分日期的天安門廣場升旗時(shí)刻表
日期 | 升旗時(shí)刻 | 日期 | 升旗時(shí)刻 | 日期 | 升旗時(shí)刻 |
2月1日 | 7:23 | 2月11日 | 7:13 | 2月21日 | 6:59 |
2月3日 | 7:22 | 2月13日 | 7:11 | 2月23日 | 6:57 |
2月5日 | 7:20 | 2月15日 | 7:08 | 2月25日 | 6:55 |
2月7日 | 7:17 | 2月17日 | 7:05 | 2月27日 | 6:52 |
2月9日 | 7:15/p> | 2月19日 | 7:02 | 2月28日 | 6:49 |
(1)從表1的日期中隨機(jī)選出一天,試估計(jì)這一天的升旗時(shí)刻早于7:00的概率;
(2)甲,乙二人各自從表2的日期中隨機(jī)選擇一天觀看升旗,且兩人的選擇相互獨(dú)立.記為這兩人中觀看升旗的時(shí)刻早于7:00的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(3)將表1和表2中的升旗時(shí)刻化為分?jǐn)?shù)后作為樣本數(shù)據(jù)(如7:31化為).記表2中所有升旗時(shí)刻對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為,表1和表2中所有升旗時(shí)刻對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為,判斷與的大。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),長軸長是短軸長的2倍.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)(異于點(diǎn)),記直線的斜率為,直線的斜率為,證明:為定值,并求出該定值.
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