（07年北師大附中）  已知函數(shù)f (x ) = x4－4x3 + ax2－1在區(qū)間[0，1]單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，2單調(diào)遞減.

（1）求a的值；

（2）若點A (x0，f (x0))在函數(shù)f (x )的圖像上，求證點A關(guān)于直線x = 1的對稱點B也在函數(shù)f (x )的圖像上；

（3）是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)g (x ) = bx2－1的圖像與函數(shù)f (x )的圖像恰有3個交點，若存在，請求出實數(shù)b的值；若不存在，試說明理由.

解析：（1）由函數(shù)f (x ) = x4－4x3 + ax2－1在區(qū)間[0，1單調(diào)遞增，在區(qū)間[1，2單調(diào)遞減，

∴ x = 1時，取得極大值，

∴ (1 ) = 0，( x ) = 4x3－12x2 + 2ax，

∴ 4－12 + 2a = 0     a = 4.

（2）點A (x0，f (x0))關(guān)于直線x = 1的對稱點B的坐標(biāo)為 (2－x0，f (x0))，

f (2－x0) = (2－x0)4－4(2－x0)3 + 4 (2－x0)2－1

                     = (2－x0)2[(2－x0)－2]2－1

                     =－4+ a－1 = f (x0)，

∴ A關(guān)于直線x = 1的對稱點B也在函數(shù)f (x )的圖像上.

（3）函數(shù)g (x ) = bx2－1的圖像與函數(shù)f (x )的圖像恰有3個交點，等價于方程x4－4x3 + 4x2－1 = bx2－1恰有3個不等實根，

x4－4x3 + 4x2－1 = bx2－1 x4－4x3 + (4－b)x2 = 0.

∵ x = 0是其中一個根，

∴ 方程x4－4x3 + (4－b)x2 = 0有兩個非零不等實根，

， b＞0且b≠4.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（07年北師大附中） 已知函數(shù)f (x ) = kx3－3 (k +1) x2－k2 + 1（k＞0）.

（1）若f (x )的單調(diào)減區(qū)間為(0，4)，求k的值；

（2）當(dāng)x＞k時，求證：2＞3－.

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（07年北師大附中） 設(shè)拋物線y = 4－x2與直線y =3x的交點為A、B，點M在拋物線的AB弧上運動，設(shè)達到最大值時，點M的坐標(biāo)為(p，h)

（1）過點(p，h)的切線方程；

 

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（07年北師大附中） 設(shè)函數(shù)y = x3 + ax2 + bx + c的圖象如圖所示，且與y = 0在原點相切，若函數(shù)的極小值為－4，

（1）求a、b、c的值；（2）求函數(shù)的遞減區(qū)間。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（07年北師大附中） 已知f (x ) = x3 + bx2 + cx + d在(－∞，0)上是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，且方程f (x ) = 0有三個根，它們分別為α，2，β.

（1）求c的值；

（2）求證：f (1 )≥2.

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