Question

已知M是x²=8y的對稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)N是其焦點(diǎn)，點(diǎn)P在該拋物線上，且滿足|PM|=m|PN|，當(dāng)m取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰在以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線上，則該雙曲線的實(shí)軸長為（　�。�

• A、2（

  2

  -1）
• B、4（

  2

  -1）
• C、2（

  2

  +1）
• D、4（

  2

  +1）

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì),雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，則由拋物線的定義，結(jié)合|PM|=m|PN|，可得

1

m

=

|PB|

|PM|

，設(shè)PM的傾斜角為α，則當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PM與拋物線相切，求出P的坐標(biāo)，利用雙曲線的定義，即可得出結(jié)論．

解答：解：過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為B，則由拋物線的定義可得|PN|=|PB|，
∵|PM|=m|PN|，
∴|PM|=m|PB|
∴

1

m

=

|PB|

|PM|

，
設(shè)PM的傾斜角為α，則sinα=

1

m

，
當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PM與拋物線相切，
設(shè)直線PM的方程為y=kx-2，代入x²=8y，可得x²=8（kx-2），
即x²-8kx+16=0，
∴△=64k²-64=0，
∴k=±1，
∴P（4，4

2

），
∴雙曲線的實(shí)軸長為PM-PN=

14+(4 2 +2)2

-（4

2

+2）=4（

2

-1）．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的性質(zhì)，考查雙曲線、拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PM與拋物線相切，是解題的關(guān)鍵．