Question

已知函數(shù)
（I）當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（0，f（0）)處的切線(xiàn)方程；
（II）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a∈(1,2)，使當(dāng)x∈（0,1）時(shí)恒成立？若存在，求出實(shí)數(shù)a；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（I）a=1時(shí),,        
于是f（0）=1,f′（0）=1,
所以函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為y-1=-(x-0)
即x+y-1=0． 
（II）=，
∵，∴ 只需討論的符號(hào)． 
i）當(dāng)a＞2時(shí)，＞0，這時(shí)f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）上為增函數(shù)．
ii）當(dāng)a= 2時(shí)，≥0，函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）上為增函數(shù)
iii）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，令f′（x）= 0，解得，．當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）和f（x）的變化情況如下表：

∴f（x）在，為增函數(shù)，f（x）在為減函數(shù)
（Ⅲ）當(dāng)∈（1，2）時(shí)，∈（0，1）．
由（2）知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，
故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，，所以
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)恒成立，等價(jià)于恒成立
當(dāng)a∈（1，2）時(shí)，，
設(shè)g（t）=(1-t)e^t,t∈(0,1)，則，
表明g(t) 在（0，1）上單調(diào)遞減，
于是可得g（t）∈(0,1)，即a∈（1，2）時(shí)恒成立，
因此，符合條件的實(shí)數(shù)a不存在.