【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),F(xiàn)為左焦點(diǎn),原點(diǎn)O到直線FA的距離為 b.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)b=2,直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,求證:直線BM與直線AN的交點(diǎn)G在定直線上.

【答案】
(1)解:設(shè)F的坐標(biāo)為(﹣c,0),依題意有bc= ab,

∴橢圓C的離心率e= =


(2)解:若b=2,由(1)得a=2 ,∴橢圓方程為

聯(lián)立方程組

化簡(jiǎn)得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,

由△=32(2k2﹣3)>0,解得:k2

由韋達(dá)定理得:xM+xN= …①,xMxN= …②

設(shè)M(xM,kxM+4),N(xN,kxN+4),

MB方程為:y= x﹣2,…③

NA方程為:y= x+2,…④

由③④解得:y=

= = =1

即yG=1,

∴直線BM與直線AN的交點(diǎn)G在定直線上


【解析】(1)設(shè)F的坐標(biāo)為(﹣c,0),原點(diǎn)O到直線FA的距離為 b,列出方程,即可求解橢圓的離心率.(2)求出橢圓方程,聯(lián)立方程組 ,通過韋達(dá)定理,設(shè)M(xM , kxM+4),N(xN , kxN+4),
求出MB方程,NA方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo),推出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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