Question

【題目】如圖，在底邊為等邊三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，四邊形B1C1CB為矩形，過A1C作與直線BC1平行的平面A1CD交AB于點D．

（Ⅰ）證明：CD⊥AB；

（Ⅱ）若AA1與底面A1B1C1所成角為60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）連接AC1交A1C于點E，連接DE．推導(dǎo)出BC1∥DE，由四邊形ACC1A1為平行四邊形，得ED為△AC1B的中位線，從而D為AB的中點，由此能證明CD⊥AB．（Ⅱ）過A作AO⊥平面A1B1C1垂足為O，連接A1O，以O為原點，以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．

（Ⅰ）連接AC1交A1C于點E，連接DE．

因為BC1∥平面A1CD，BC1平面ABC1，平面ABC1∩平面A1CD＝DE，

所以BC1∥DE．

又因為四邊形ACC1A1為平行四邊形，

所以E為AC1的中點，所以ED為△AC1B的中位線，所以D為AB的中點．

又因為△ABC為等邊三角形，所以CD⊥AB．

（Ⅱ）過A作AO⊥平面A1B1C1垂足為O，連接A1O，設(shè)AB＝2．

因為AA1與底面A1B1C1所成角為60°，所以∠AA1O＝60°．

在Rt△AA1O中，因為，

所以，AO＝3．

因為AO⊥平面A1B1C1，B1C1平面A1B1C1，

所以AO⊥B1C1．

又因為四邊形B1C1CB為矩形，所以BB1⊥B1C1，

因為BB1∥AA1，所以B1C1⊥AA1．

因為AA1∩AO＝A，AA1平面AA1O，AO平面AA1O，所以B1C1⊥平面AA1O．

因為A1O平面AA1O，所以B1C1⊥A1O．又因為，所以O為B1C1的中點．

以O為原點，以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．

則，C1（0，﹣1，0），A（0，0，3），B1（0，1，0）．

因為，

所以，，

因為，

所以，，，

，．

設(shè)平面BA1C的法向量為＝（x，y，z），

由得

令，得z＝2，所以平面BA1C的一個法向量為．

設(shè)平面A1CC1的法向量為＝（a，b，c），

由得

令，得b＝﹣3，c＝1，所以平面A1CC1的一個法向量為．所以，

因為所求二面角為鈍角，所以二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值為．