Question

（2010•茂名二模）已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，其中正（主）視圖與側（左）視為直角三角形，俯視圖為正方形．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E是側棱PA上的動點．問：不論點E在PA的任何位置上，是否都有BD⊥CE？請證明你的結論？
（3）求二面角D-PA-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，結合三視圖的特征直接求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若E是側棱PA上的動點．不論點E在PA的任何位置上，都有BD⊥CE，說明BD⊥平面PAC，都有CE?平面PAC，即可．
（3）在平面DAP過點D作DF⊥PA于F，連接BF．說明∠DFB為二面角D-AP-B的平面角，在△DFB中，求二面角D-PA-B的余弦值．

解答：解：（1）由三視圖可知，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2
∴VP-ABCD=

1

3

S_{正方形ABCD}•PC=

1

3

×12×2=

2

3

．（4分）

（2）不論點E在何位置，都有BD⊥AE（5分）
證明：連接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC．（6分）
又∵AC∩PC=C，∴BD⊥平面PAC（7分）
∵不論點E在何位置，都有CE?平面PAC．
∵不論點E在何位置，都有BD⊥CE．（9分）

（3）在平面DAP過點D作DF⊥PA于F，
連接BF∵∠ABP=∠ADP=

π

2

，AD=AB=1，
DP=BP=

5

∴Rt△ADP≌Rt△ABP∴∠PAD=∠PAB，
又AF=AF，AB=AD
從而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AP．∴∠DFB為二面角D-AP-B的平面角（12分）
在Rt△ACP中，AP=

AC2+PC2

=

( 2 )2+22

=

6

故在Rt△ADP中，DF=

AD•DP

AP

=

1× 5

6

=

30

6

=BF．
又BD=

2

，在△DFB中，
由余弦定理得：cos∠BFD=

DF2+BF2-BD2

2•DF•BF

=-

1

5

．
所以二面角D-PA-B的余弦值為-

1

5

．（14分）

點評：本題是基礎題，考查幾何體的三視圖，幾何體的體積的求法，準確判斷幾何體的形狀是解題的關鍵，同時注意：空間想象能力，邏輯思維能力的培養(yǎng)．