Question

（2012•江西）在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則

|PA|2+|PB|2

|PC|2

=（　�。�

A．2

B．4

C．5

D．10

Answer 1

分析：以D為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系，由題意得以AB為直徑的圓必定經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，因此設(shè)AB=2r，∠CDB=α，得到A、B、C和P各點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式求出|PA|²+|PB|²和|PC|²的值，即可求出

|PA|2+|PB|2

|PC|2

的值．

解答：解：以D為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，建立如圖坐標(biāo)系，
∵AB是Rt△ABC的斜邊，
∴以AB為直徑的圓必定經(jīng)過(guò)C點(diǎn)
設(shè)AB=2r，∠CDB=α，則
A（-r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）
∵點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，
∴P（

1

2

rcosα，

1

2

rsinα）
∴|PA|²=(

1

2

rcosα+r)2+(

1

2

rsinα)2=

5

4

r2+r²cosα，
|PB|²=(

1

2

rcosα-r)2+(

1

2

rsinα)2=

5

4

r2-r²cosα，
可得|PA|²+|PB|²=

5

2

r²
又∵點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，CD=r
∴|PC|²=(

1

2

r)2=

1

4

r²
所以：

|PA|2+|PB|2

|PC|2

=

5 2 r2

1 4 r2

=10
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題給出直角三角形ABC斜邊AB上中線AD的中點(diǎn)P，求P到A、B距離的平方和與PC平方的比值，著重考查了用解析法解決平面幾何問(wèn)題的知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．