(2012•泉州模擬)已知f0(x)=x•ex,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn(x)=f′n-1(x)(n∈N*).
(Ⅰ)請(qǐng)寫出fn(x)的表達(dá)式(不需證明);
(Ⅱ)設(shè)fn(x)的極小值點(diǎn)為Pn(xn,yn),求yn;
(Ⅲ)設(shè)gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8,gn(x)的最大值為a,fn(x)的最小值為b,試求a-b的最小值.
分析:(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)寫出f1(x),f2(x)歸納出fn(x);
(2)由(1)知fn(x)的表達(dá)式,要求極值點(diǎn),就要借助導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)為0,解出xn,驗(yàn)證是極值后代入解析式即可求出yn
(3)類比求fn(x)的極小值的過程求出gn(x)的極大值,進(jìn)而求出最值即可.
解答:解:(Ⅰ)fn(x)=(x+n)•ex(n∈N*).…(4分)
(Ⅱ)∵fn(x)=(x+n+1)•ex,
∴當(dāng)x>-(n+1)時(shí),fn(x)>0;當(dāng)x<-(n+1)時(shí),fn(x)<0
∴當(dāng)x=-(n+1)時(shí),fn(x)取得極小值fn(-(n+1))=-e-(n+1)
yn=-e-(n+1)(n∈N*).…(8分)
(Ⅲ) 解法一:∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2,所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2.…(9分)
b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)
∴a-b=(n-3)2+e-(n+1),
令h(x)=(x-3)2+e-(x+1)(x≥0),則h'(x)=2(x-3)-e-(x+1).…(10分)
∵h(yuǎn)'(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,∴h'(x)≥h'(0)=-6-e-1,
∵h(yuǎn)'(3)=-e-4<0,h'(4)=2-e-5>0,
∴存在x0∈(3,4)使得h'(x0)=0.…(12分)
∵h(yuǎn)'(x)在[0,+∞)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)0≤x<x0時(shí),h'(x0)<0;當(dāng)x>x0時(shí),h'(x0)>0,
即h(x)在[x0,+∞)單調(diào)遞增,在[0,x0)單調(diào)遞減,
∴(h(x))min=h(x0),
又∵h(yuǎn)(3)=e-4,h(4)=1+e-5,h(4)>h(3),
∴當(dāng)n=3時(shí),a-b取得最小值e-4.…(14分)
解法二:∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2,所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2.…(9分)
b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)
∴a-b=(n-3)2+e-(n+1),
cn=(n-3)2+e-(n+1),
cn+1-cn=2n-5+
1
en+2
-
1
en+1
,…(10分)
當(dāng)n≥3時(shí),cn+1-cn=2n-5+
1
en+2
-
1
en+1
,又因?yàn)閚≥3,所以2n-5≥1,
1
en+2
>0
,0<
1
en+1
<1
,所以2n-5+
1
en+2
-
1
en+1
>0
,所以cn+1>cn.…(12分)
c1=4+
1
e2
,c2=1+
1
e3
,c3=
1
e4
,c1>c2>c3,
∴當(dāng)n=3時(shí),a-b取得最小值e-4.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列以及合情推理等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想及有限與無限思想.著重考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值.
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(Ⅰ)當(dāng)a=-1時(shí),求函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(Ⅱ)已知a<0,若函數(shù)y=f(x)的圖象總在直線y=-
12
的下方,求a的取值范圍;
(Ⅲ)記f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).若a=1,試問:在區(qū)間[1,10]上是否存在k(k<100)個(gè)正數(shù)x1,x2,x3…xk,使得f′(x1)+f'(x2)+f′(x3)+…+f′(xk)≥2012成立?請(qǐng)證明你的結(jié)論.

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1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)
=(  )

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