Question

如右圖所示，在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4，M為AA₁的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC₁到M的最短路線長為,設(shè)這條最短路線與CC₁的交點(diǎn)為N.求：

(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；
(2)PC和NC的長.

Answer 1

(1)其對角線長為
.
(2) PC=P₁C=2,
NC=.

(1)正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側(cè)面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為
.

(2)如右圖所示，將側(cè)面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA₁C₁C在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)P₁的位置，連結(jié)MP₁，則MP₁就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC₁到點(diǎn)M的最短路線.
設(shè)PC=x，則P₁C=x.
在Rt△MAP₁中,
由勾股定理得(3+x)²+2²=29,
求得x=2.∴PC=P₁C=2,
∵,∴NC=.