Question

四面體D-ABC，中，AB=BC，在側(cè)面DAC中，中線(xiàn)AN⊥中線(xiàn)DM，且DB⊥AN．
（1）求證：平面ACD⊥平面ABC；
（2）若AN=4，DM=3，BD=5，求四面體D-ABC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，得AN⊥平面BDM，所以AN⊥BM．而等腰△ABC中AC⊥BM，所以BM⊥平面ACD，最后根據(jù)面面垂直判定定理，得平面ABC⊥平面ACD；
（2）根據(jù)四邊形ADNM中，對(duì)角線(xiàn)AN、DM互相垂直，得出S_ADNM=S_△CAD=6，得S_△CAD=8．用勾股定理算出BM的長(zhǎng)，最后根據(jù)BM⊥平面ACD，結(jié)合錐體體積公式，可算出四面體D-ABC的體積．
解答：解：（1）∵AN⊥DM，AN⊥DB且DB∩DM=D，
∴AN⊥平面BDM，
∵BM?平面BDM，∴AN⊥BM
又∵△ABC中，AB=BC且M為AC中點(diǎn)，∴AC⊥BM
∵AN、AC是平面ACN內(nèi)的相交直線(xiàn)，∴BM⊥平面ACD，
∵BM?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD
（2）連接MN，
∵四邊形ADNM中，對(duì)角線(xiàn)AN、DM互相垂直，AN=4，DM=3，
∴四邊形ADNM面積S=AN×DM=6
∵M(jìn)N是△ACD的中位線(xiàn)，
∴△CMN∽△CAD，得S_△CMN=S_△CAD，
因此四邊形ADNM面積等于S_△CAD=6，得S_△CAD=8
∵BM⊥平面ACD，得DM⊥BM
∴Rt△BDM中，BM==4
所以四面體D-ABC的體積V=V_B-ACD=S_△CAD×BM=．
點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊四面體，求證面面垂直并求錐體體積，著重考查了線(xiàn)面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和面積體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．