Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）分類(lèi)討論，詳見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的與的關(guān)系來(lái)分類(lèi)討論函數(shù)的單調(diào)性，并注意一元二次方程根的正負(fù)與定義域的關(guān)系；

（2）由是兩個(gè)極值點(diǎn)得到對(duì)應(yīng)的韋達(dá)定理形式，然后利用條件將轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)于某一變量的新函數(shù)，分析新函數(shù)的單調(diào)性從而確定出新函數(shù)的最大值即的最大值.

（1），，，

當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)負(fù)根，此時(shí)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)正根，分別為，，

此時(shí)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

綜上可得:時(shí)，在上單調(diào)遞增，

時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）由（1）可得，，

，，

∵，，∴，，

∴

令，則

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

∴在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減

∴

∴的最大值為．